1/(1+x) als geometrische Reihe

03.08.2018, 23:08	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
1/(1+x) als geometrische Reihe Hallo zusammen, ich rechne gerade ein paar Übungsaufgaben und komme bei folgender Aufgabe nicht wirklich vorwärts: Schreiben Sie 1/(1+x) für geeignete x als geometrische Reihe. So nun stehe ich aber vor dem Problem: Die geometrisch Reihe ist ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } x^k \end{eqnarray}$ und für "geeignete x" mit $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ konvergiert diese undzwar gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ Allerdings sehen wir ja alle ein , dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x} \neq \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ Ich verstehe jetzt einfach nicht durch welche Überlegung ich bei meiner Lösung der Aufgabe lande Wäre super, wenn mir jemand ein wenig aus der Patsche hilft LG Snexx_Math
03.08.2018, 23:19	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)} \end{eqnarray}$
03.08.2018, 23:26	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre die Reihe, die die Aufgabe erwartet : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-x)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k \cdot x^k \end{eqnarray}$ ?
03.08.2018, 23:28	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja (natürlich mit dem Hinweis "für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ ").
03.08.2018, 23:34	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok , und wenn ich jetzt aus dieser Reihe die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} f(x)=ln(1+x) \end{eqnarray}$ im Punkt 0 berechen soll durch Integration dieser geometrischen Reihe, wie gehe ich dann vor ? Ist es dann: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^k \cdot \frac{x^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray}$ ? Es wird zudem gefragt , warum man hier jetzt gliedweise Integrieren darf , ich erinnere mich allerdings nur an einen Satz , dass man die Potenzreihen gliedweise differenzieren darf, für solche x die im Konvergenzradius liegen.
03.08.2018, 23:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Integrationen gilt das gleiche: Potenzreihen darf man im Inneren des Konvergenzbereichs gliedweise integrieren. Korrekt aufschreiben könnte man das z.B. so: $\begin{eqnarray} \ln(1+x)=\int_0^x\! \frac{1}{1+\tilde x} \, d\tilde x= \sum_{k=0}^\infty \int_0^x\! (-1)^k\cdot \tilde x^k\, d\tilde x=\dots \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ . (Für $\begin{eqnarray} \|x\|>1 \end{eqnarray}$ kann man übrigens $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x}=\frac 1x\cdot \frac{1}{1-(-\frac 1x)} \end{eqnarray}$ umformen und das dann als geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \frac 1x\cdot \sum_{k=0}^\infty (-\frac 1x)^k= -\sum_{k=1}^\infty (-\frac 1x)^k \end{eqnarray}$ schreiben.)
Anzeige

03.08.2018, 23:54	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »