Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

03.08.2018, 23:36

Snexx_Math

Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Hallo zusammen,

ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folge der Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n(x): [1,10] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_n(x)=nxe^{-nx^2} , n\in \mathbb N , \end{eqnarray*}$ auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf $\begin{eqnarray*} [1,10] \end{eqnarray*}$ .

Meine Ansatz:
Vermutung: Die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} f:[1,10]\rightarrow \mathbb R , f(x)=0 \forall x \in [1,10] \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x\in [1,10] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} 0\leq |f_n(x)-f(x)|=|nxe^{-nx^2} |= |\frac{nx}{e^{nx^2}}|\leq |\frac{10n}{e^{n}}| .... \end{eqnarray*}$

Leider tue ich mich jetzt (bestimmt zu Unrecht) schwer, wie kann ich das besser nach oben abschätzen , um den limes laufen zu lassen, so dass das Sandwhich-Lemma greift ? smile

LG

Snexx_Math

EDIT:
$\begin{eqnarray*} 0\leq |f_n(x)-f(x)|=|nxe^{-nx^2} |= |\frac{nx}{e^{nx^2}}|\leq |\frac{10n}{e^{n}}| \leq |\frac{10n}{n^3}|=|\frac{10}{n^2}| \rightarrow (n \rightarrow \infty ) 0 \end{eqnarray*}$

04.08.2018, 00:05

10001000Nick1

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Da hilft eine einfache Abschätzung, indem man bei der Exponentialreihe alle (positiven) Summanden bis auf die ersten drei weglässt: $\begin{eqnarray*} e^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}\geq 1+n+\frac{n^2}{2} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} ne^{-n}\leq \frac{n}{1+n+\frac{n^2}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

(Genauso könnte man bei der ersten Abschätzung die rechte Seite bis zu einem beliebigen höheren Grad schreiben; daraus folgt: Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom.)

04.08.2018, 00:15

Snexx_Math

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
(Genauso könnte man bei der ersten Abschätzung die rechte Seite bis zu einem beliebigen höheren Grad schreiben; daraus folgt: Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom.)

Das habe ich jetzt im EDIT benutzt, siehe $\begin{eqnarray*} e^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 10001000Nick1
$\begin{eqnarray*} e^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}\geq 1+n+\frac{n^2}{2} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} ne^{-n}\leq \frac{n}{1+n+\frac{n^2}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Also könnte ich auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} 0\leq |f_n(x)|=|nxe^{-nx^2}|\leq|ne^{-n}x| \leq |\frac{n}{1+n+\frac{n^2}{2}}x|=|\frac{1}{\frac{1}{n}+1+\frac{n}{2}}x| \rightarrow ( n \rightarrow \infty ) 0 \end{eqnarray*}$

04.08.2018, 00:22

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Das habe ich jetzt im EDIT benutzt, siehe $\begin{eqnarray*} e^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$

Das stimmt allerdings nicht für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , sondern nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ (was hier aber kein Problem ist, da es nur um den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ geht).

Wenn du eine Abschätzung haben willst, die für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann nimm z.B. $\begin{eqnarray*} e^n\geq \frac{n^3}{3!} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

(Genauso würde bei meinem Vorschlag oben auch nur ein Summand reichen: $\begin{eqnarray*} e^n\geq \frac{n^2}{2} \end{eqnarray*}$ .)

04.08.2018, 00:33

Snexx_Math

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Alles klar smile

Wie siehts denn mit der gleichmäßigen Konvergenz aus ?

Wir hatten ja x nicht speziell gewählt, also müsste es doch eigentlich glm. konvergent sein oder ?

04.08.2018, 00:39

10001000Nick1

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Es reicht nicht, dass das x beliebig gewählt war. (Damit hast du ja nur die punktweise Konvergenz in jedem $\begin{eqnarray*} x\in [1,10] \end{eqnarray*}$ gezeigt.)
Für die gleichmäßige Konvergenz musst du eine von x unabhängige obere Schranke für $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ finden, die für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert. Und das hast du schon in deinem ersten Beitrag mit $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq \frac{10n}{e^n} \end{eqnarray*}$ gemacht.

04.08.2018, 00:48

Snexx_Math

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Das heißt wir können sagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{10n}{e^n}\leq \frac{10n}{1+n+\frac{n^2}{2}}=\frac{10}{\frac{1}{n}+1+\frac{n}{2}} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nur, dass in dem Lösungshinweis angegeben wurde, dass diese Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert verwirrt

04.08.2018, 01:00

10001000Nick1

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Bist du dir sicher, dass der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} [1,10] \end{eqnarray*}$ ist? Auf $\begin{eqnarray*} [0,10] \end{eqnarray*}$ beispielsweise würde die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergieren.

04.08.2018, 01:07

Snexx_Math

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Ja auf dem Blatt steht $\begin{eqnarray*} [1,10] \end{eqnarray*}$

Könntest du mir eventuell erläutern woran du fest machst, warum es auf [0,10] nicht glm. konvergieren soll aber auf [1,10] ? geschockt

04.08.2018, 01:13

10001000Nick1

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Dass die Folge auf $\begin{eqnarray*} [1,10] \end{eqnarray*}$ glm. konvergiert, haben wir ja gerade gezeigt.

Und dass sie es auf $\begin{eqnarray*} [0,10] \end{eqnarray*}$ nicht tut, habe ich einfach mit der Definition nachgerechnet. Augenzwinkern

(D.h. $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,10]}|f_n(x)-f(x)|=0 \end{eqnarray*}$ berechnet und gesehen, dass dieses Supremum für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 konvergiert.)

04.08.2018, 01:27

Snexx_Math

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Dass die Folge auf $\begin{eqnarray*} [1,10] \end{eqnarray*}$ glm. konvergiert, haben wir ja gerade gezeigt.

Ja stimmt , das sehe ich auch gerade ein.

Dann muss das wohl ein Fehler auf dem Blatt sein.

Noch eine Frage:
Wenn ich die Funktion zeichne , wird ja klar, dass sie sich für große n in Richtung 0 zusammenzieht und immer höher wird.
Aber wie erkennt man das anhand von :
$\begin{eqnarray*} \underset{x\in[0,10]}{sup} |f_n(x)| \end{eqnarray*}$

Sehe das nämlich nicht so direkt , ich müsste dann ja sehen, dass für ein $\begin{eqnarray*} x\in ]0,1[\ : \ |f_n(x)|\geq |f_N(x)| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

Aber woran macht man das so einfach fest ? Ich weiß, dass die Frage schon fast lächerlich ist, würde mir aber ungemein beim rein-mathematischen Verständnis helfen.

NACHTRAG:

Ich sehe gerade, wenn ich für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann konvergiert das ganze gegen 1

04.08.2018, 01:33

10001000Nick1

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Das kannst du mithilfe von Differentialrechnung so machen, wie du es aus der Schule kennst: Funktion ableiten, Nullstellen der Ableitung bestimmen usw.
Dann noch die Funktion auf evtl. Randextrema untersuchen.

Zitat:

Original von Snexx_Math
ich müsste dann ja sehen, dass für ein $\begin{eqnarray*} x\in ]0,1[\ : \ |f_n(x)|\geq |f_N(x)| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

So ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wirst du nicht finden. Punktweise konvergiert die Folge nämlich auch auf $\begin{eqnarray*} [0,10] \end{eqnarray*}$ gegen die Nullfunktion.
Das Maximum wird nicht bei jeder Funktion $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ an derselben Stelle angenommen; die Extremstelle nähert sich mit wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der 0.

Für heute bin ich erstmal weg; schaue morgen wieder rein. Wink

04.08.2018, 01:49

Snexx_Math

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Das kannst du mithilfe von Differentialrechnung so machen, wie du es aus der Schule kennst: Funktion ableiten, Nullstellen der Ableitung bestimmen usw.
Dann noch die Funktion auf evtl. Randextrema untersuchen.

Ok, das merk ich mir mal.

War denn mein Nachtrag bezüglich $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auch richtig ?

Wann betrachtet man nochmal überhaupt die Randwerte ?
Ich meine, dass war, wenn der Rand im Intervall enthalten ist, sprich abgeschlossenes Intervall ,weil f dann auch die Randwerte also mögliche Exremstellen annimmt oder ?

Bis morgen Augenzwinkern

04.08.2018, 10:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Snexx_Math
NACHTRAG:

Ich sehe gerade, wenn ich für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann konvergiert das ganze gegen 1

Ok, so geht es natürlich noch etwas schneller. Damit kennst du zwar das Supremum von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht, weißt aber zumindest, dass es nicht gegen 0 konvergieren kann.

Falls du es selbst nochmal nachrechnen möchtest: Es ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,10]} f_n(x)=f_n\left(\frac{1}{\sqrt{2n}}\right)=\sqrt\frac n2\cdot e^{-\frac 12} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,10]} f_n(x) =\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Snexx_Math
Ich meine, dass war, wenn der Rand im Intervall enthalten ist, sprich abgeschlossenes Intervall ,weil f dann auch die Randwerte also mögliche Exremstellen annimmt oder ?

Genau. Die Ableitung verschwindet an Extremstellen im Inneren des Definitionsbereichs. Am Rand muss das nicht so sein; deswegen muss man diese Stellen gesondert untersuchen.

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