Funktion partiell diff'bar aber nicht stetig partiell diff'bar

04.08.2018, 14:50

Snexx_Math

Funktion partiell diff'bar aber nicht stetig partiell diff'bar

Hallo zusammen, ich würde mal gerne jemanden hier drüber schauen lassen: Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R , f(x,y) =\begin{cases} \frac{xy^6}{x^2+y^8} & , für \ \ \ (x,y)\neq (0,0) \\ 0& , für \ \ \ (x,y)=(0,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar ist , aber nicht stetig partiell differenzierbar.

Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ ist die Funktion nach Ableitungsregeln partiell differenzierbar. Für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} D_1f(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^2}}{h}=\lim_{h \to 0} 0= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_2f(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}= ... = 0 \end{eqnarray*}$
Also ist f auch im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar.
Jetzt bleibt zu zeigen, dass die Funktion nicht stetig partiell differenzierbar ist, dafür muss gelten, dass entweder f oder eine der beiden partiellen Ableitungen nicht stetig ist. Wir suchen also ein Gegenbeispiel. Für die Ausgangsfunktion f finde ich keins.
Also bilde ich die partiellen Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{y^6\cdot (x^2+y^8)-xy^6\cdot 2x }{(x^2+y^8)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{6xy^5 \cdot (x^2+y^8) - 8y^7\cdot xy^6} {(x^2+y^8)^2} \end{eqnarray*}$
Wie finde ich in dem Salat jetzt ein Gegenbeispiel für die Stetigkeit ? am besten wäre es ja für den Fall (x,y)=(0,0) ein Gegenbeispiel zu finden, da die Funktion sonst stetig aussieht.

LG

Snexx_Math

04.08.2018, 16:55

005

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RE: Funktion partiell diff'bar aber nicht stetig partiell diff'bar
Die billigsten Annaeherungsversuche an den Nullpunkt gehen laengs der Koordinatenachsen ...

04.08.2018, 20:45

Snexx_Math

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RE: Funktion partiell diff'bar aber nicht stetig partiell diff'bar
Ja das stimmt ja , aber hier bringt das ja nichts , denn dann wird alles direkt 0.

Vielleicht findet jemand hier ja eine Folge womit man ein Gegenbeispiel erhält. Augenzwinkern

04.08.2018, 22:16

005

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RE: Funktion partiell diff'bar aber nicht stetig partiell diff'bar

Zitat:

denn dann wird alles direkt 0.

Falsch.

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Funktion partiell diff'bar aber nicht stetig partiell diff'bar

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