Quotientenring eines Polynomrings

05.08.2018, 10:28	matthias_1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenring eines Polynomrings Hallo Leute, ich sitze gerade einer neuen Aufgabe und habe keine Idee, wie ich diese lösen kann. Die Aufgabe ist folgendermaßen: $\begin{eqnarray} K = Z_3 \end{eqnarray}$ (Körper mit 3 Elementen) $\begin{eqnarray} R = K[x] / (f) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = x^3 + x + 1 \in K[x] \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} R = \{g + (f) \| g \in K[x], grad(g) < 3\} \end{eqnarray}$ gilt. Die Eigenschaft ist mir klar, dass der $\begin{eqnarray} grad(g) < 3 \end{eqnarray}$ ist, da ich mich in einem Quotientenring befinde (da $\begin{eqnarray} f(x) \equiv 0 \end{eqnarray}$ ). Meine einzige Idee ist, dass ich mir erstmal alle 27 Elemente der Quotientenrings aufschreibe, also: $\begin{eqnarray} R={0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2, <br /> x^2, x^2 +1, x^2 + 2, x^2 + x, x^2 + 2x,<br /> x^2 + x + 1, x^2 + x + 2, x^2 + 2x + 1, x^2 + 2x + 2,<br /> 2x^2 + x, 2x^2 + x + 1, 2x^2 + x + 2, 2x^2 + 2x + 1, 2x^2 + 2x + 2} \end{eqnarray}$ Dann mit Hilfe von Mengeninklusion versuche zu zeigen, dass die beiden Mengen gleich sind. Also $\begin{eqnarray} R = \{g + (f) \| g \in K[x], grad(g) < 3\} \end{eqnarray}$ . Ist das die richtige Vorgehensweise oder bin ich auf dem Holzweg? Vielleicht hat noch jemand einen Tipp für mich oder einen anderen Ansatz? Vielen Dank im voraus Matthias
05.08.2018, 12:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jedes Polynom g vom Grad >=3 kann man mod f reduzieren. Die Gleichheit ist nichts weiter als die Definition des Quotientenrings. Allerdings sind die Elemente Restklassen und nicht Polynome.
05.08.2018, 14:38	matthias_1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, vielen Dank für deine Rückmeldung. Bei deiner ersten Aussage gehe ich mir. Mir ist klar, dass, wenn ich ein Polynom habe, was einen größeren Grad als 3 besitzt, ich dieses mit mod f reduzieren kann. Beispielsweise $\begin{eqnarray} x^4 mod f = x^2 + x \end{eqnarray}$ . Mit "Gleichheit" meinst du vermutlich die Kongruenz von f und 0? Hast du einen Ansatz für die Lösung der Aufgabe? Viele Grüße und vielen Dank im voraus Matthias
05.08.2018, 16:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} K[x] /(f) =\{g+(f) :g\in K[x] \} =\{g+(f) :g\in K[x], grad (g) <3\} \end{eqnarray}$ , weil sich jedes Polynom g mit Grad groesser gleich 3 mod f reduzieren lässt.
05.08.2018, 18:20	matthias_1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Vielen Dank für deine Rückmeldung Matthias

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