Grenzwert bestimmen

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07.08.2018, 15:10	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen Meine Frage: Kann jemand bitte drüber schauen Beim ersten bin ich nicht sicher, da ich nicht genau wusste, wie ich den Grenzwert von Cosinus interpretieren soll :/ Beim zweiten bin ich auch nicht ganz sicher , ob ich richtig abgeschätzt habe :/ Meine Ideen: Ideen sind im Anhang
07.08.2018, 15:20	G070818	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen 2. Erweitere zur 3. binomischen Formel und kürze dann mit n.
07.08.2018, 15:25	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Hey, das habe ich bei meiner Nebenrechnung gemacht auf dem Blatt Ist mir da ein Fehler unterlaufen ? Hatte mit n^2 gekürzt ist das mein Fehler ?
07.08.2018, 16:00	G070818	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Im Zähler fällt n^2 aus, es bleibt n übrig, im Nenner die Erweiterung zum 3. Binom. Wenn du dann n im Nenner ausklammerst und mit n kürzt, sollte rauskommen: 1/(1+1) = 1/2 für n gg. unendlich.
07.08.2018, 16:23	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Alles klar, Danke
07.08.2018, 17:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur ersten Aufgabe: Du erkennst irgendwann, dass du L'Hospital hier nicht anwenden kannst (richtige Erkenntnis!), und tust es dann aber trotzdem? Zudem mit einem Rechenfehler Es gilt mitnichten $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \cos(x) \stackrel{?}{=} 1 \end{eqnarray}$ , tatsächlich existiert dieser Grenzwert links gar nicht. Ausweg: Zeige für den Zähler $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} (\ln(x)-\ln(x+1)) = 0 \end{eqnarray}$ , was im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray} 3+\sin(x)\geq 2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auch den Gesamtgrenzwert zu Null macht.
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07.08.2018, 18:18	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
danke hab es jetzt so gemacht : Was sagst du dazu ?
07.08.2018, 18:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} {\color{red}-1\leq} \sin(x) \leq 1 \end{eqnarray}$ , entscheidend ist hier die linke, nicht die rechte Abschätzung. $\begin{eqnarray} 3+\sin(x)\leq 4 \end{eqnarray}$ nützt gar nichts - wir müssen "Abstand" zur Null bekommen, das ist hier das entscheidende, und den bekommen wir mit $\begin{eqnarray} 3+\sin(x)\geq 3+(-1) = 2 \end{eqnarray}$ . Und dieses Gerechne $\begin{eqnarray} \infty-\infty = 0 \end{eqnarray}$ verbanne mal ganz, ganz schnell aus deinem Repertoire, das ist allergrößter Unfug: Nach der Argumentation wäre auch $\begin{eqnarray} 1 = \lim_{x\to\infty} 1 = \lim_{x\to\infty} (x+1-x) = \lim_{x\to\infty} (x+1) - \lim_{x\to\infty} x = \infty - \infty \stackrel{?}{=} 0 \end{eqnarray}$ , na herzlichen Glückwunsch. Eine passende Rechnung für den Zählergrenzwert würde z.B. erst die Logarithmenregeln und dann die Stetigkeit der Logarithmusfunktion im Punkt $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ nutzen: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} (\ln(x)-\ln(x+1)) = \lim_{x\to\infty} \left(-\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) = -\lim_{x\to\infty} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \stackrel{(S)}{=} -\ln\left(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) = -\ln(1) = 0 \end{eqnarray}$ .
07.08.2018, 19:00	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, das ich dich jetzt überzeugen kann Hab deine Rechnung neu gesehen. Von wo kommt ,das negative Vorzeichen ?
07.08.2018, 19:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Zählergrenzwert ist jetzt in Ordnung (mein EDIT hatte sich wohl mit deinem Beitrag überkreuzt). Aber die "Zusammenführung" sehe ich anders: Man kann nicht einfach mit Quotientengrenzwert argumentieren, da der Nenner nicht konvergiert. So klappt es: Es ist $\begin{eqnarray} 0\leq \left\| \frac{\ln(x)-\ln(x+1)}{3+\sin(x)} \right\| = \frac{\left\|\ln(x)-\ln(x+1)\right\|}{3+\sin(x)} \leq \frac{\left\|\ln(x)-\ln(x+1)\right\|}{2} \end{eqnarray}$ . Da die rechte Seite gegen Null konvergiert, trifft es für den Mittelterm auch zu ("Sandwichsatz").
07.08.2018, 19:14	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank
07.08.2018, 19:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht wird dir erst durch einen Plot klar, dass es sich hier nicht um eine einfache monotone Konvergenz gegen Null gehandelt hat, sondern eher in einer "Wellenbewegung":
07.08.2018, 19:33	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wird es danke !! So hab ich es mir gar nicht vorgestellt

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