Lineare Systeme - Seite 2

Die allgemeine Lösung aufgeschrieben lautet so aber was die als nächstes machen in der Musterlösung verstehe ich nicht mehr ,brauche da dringend Hilfe :

$\begin{eqnarray*} z(x) = v_1*e^{-3x}*\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} +v_2*e^{2x} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In meiner Musterlösung machen die das ?

Aber ich weiss nicht was ich jetzt genau machen soll?

08.08.2018, 22:19

BadisGood

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Will jemand anderer übernehmen solange Klarsoweit pausiert ? Big Laugh

09.08.2018, 09:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von BadisGood
Die allgemeine Lösung aufgeschrieben lautet so aber was die als nächstes machen in der Musterlösung verstehe ich nicht mehr ,brauche da dringend Hilfe :

$\begin{eqnarray*} z(x) = v_1*e^{-3x}*\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} +v_2*e^{2x} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet eher so: $\begin{eqnarray*} z(x) = c_1 \cdot e^{-3x} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \cdot e^{2x} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit Konstanten c_1 und c_2. Mit v_1 und v_2 wurden die Eigenvektoren bezeichnet, und die stehen da ja schon.

Zitat:

Original von BadisGood
Aber ich weiss nicht was ich jetzt genau machen soll?

Nun ja, jetzt brauchen wir noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Dazu schreiben wir mal das Fundamentalsystem $\begin{eqnarray*} \{v_1 e^{-3x}, v_2 e^{2x} \} \end{eqnarray*}$ in eine Fundamentalmatrix: $\begin{eqnarray*} Y(x) = \begin{pmatrix} -2e^{-3x} & e^{2x} \\ e^{-3x} & 2e^{2x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die homogene DGL z' = A * z ist somit $\begin{eqnarray*} z(x) = Y(x) \cdot c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung.

Für die inhomogene DGL macht man nun das, was man auch für den eindimensionalen Fall macht: Variation der Konstanten.
Man macht also den Ansatz $\begin{eqnarray*} z(x) = Y(x) \cdot c(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c(x) = \begin{pmatrix} c_1(x) \\ c_2(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Es ist dann $\begin{eqnarray*} z'(x) = Y'(x) \cdot c(x) + Y(x) \cdot c'(x) \end{eqnarray*}$ . Wenn du das nun in die inhomogene DGL z' = A*z + b einsetzt, führt das am Ende auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} c'(x) = Y(x)^{-1} \cdot b \end{eqnarray*}$ .

Mit Sicherheit wurde das auch in der Vorlesung besprochen. smile

09.08.2018, 09:24

BadisGood

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Wie bist du auf die 2 Zeile der Fundamentalmatrix gekommen ?

Was hast du da genau gemacht ?

09.08.2018, 09:29

klarsoweit

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Die 1. Spalte der Fundamentalmatrix entspricht dem 1. Element (das ist ein Vektor!) des Fundamentalsystems usw.

09.08.2018, 10:09

BadisGood

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Woher kommt in der 2 Zeile e^-3x .... usw ?

09.08.2018, 10:28

klarsoweit

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Habe ich doch gesagt (du darfst nicht nur lesen, was ich sage, du mußt auch drüber nachdenken):

Zitat:

Original von klarsoweit
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet eher so: $\begin{eqnarray*} z(x) = c_1 \cdot \color{red} e^{-3x} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{black} + c_2 \cdot \color{blue} e^{2x} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das rot markierte ist die 1. Spalte der Fundamentalmatrix und das blau markierte die 2. Spalte.

09.08.2018, 11:34

BadisGood

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Nein ich meine die Y(x ) Matrix ?

Die allgemeine Lösung verstehe ich .

09.08.2018, 11:49

klarsoweit

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Meine Güte, so schwer kann das doch nicht sein. geschockt

Schau auf z(x) und nun auf die Fundamentalmatrix $\begin{eqnarray*} Y(x) = \begin{pmatrix} \color{red}-2e^{-3x} & \color{blue} e^{2x} \\ \color{red} e^{-3x} & \color{blue} 2e^{2x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da muß dir doch etwas auffallen. Oder ein Gang zum Optiker ist dringend nötig.

09.08.2018, 14:16

BadisGood

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Es ist die erste Ableitung denke ich Big Laugh

$\begin{eqnarray*} Y(x) = -2e^{-3x}*c1(x) + e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y'(x) =-2e^{-3x} *c1'(x)+6e^{-3x}*c1(x) +2e^{2x} \end{eqnarray*}$

In welche homogene Lösung jetzt genau einsetzen?

09.08.2018, 14:42

klarsoweit

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Nein, das hat mit Ableitung nichts zu tun, und ehrlich gesagt bin ich nah dran aufzugeben, denn bei dir ist absolut kein Lernfortschritt zu erkennen. Das meine ich ernst und das ist auch nicht zum Lachen.

Ich wiederhole jetzt nochmal den Begriff "Fundamentalmatrix": Die Fundamentalmatrix ist - wie der Name sagt - eine Matrix. In diesem Fall ist es eine 2x2-Matrix. Die Spalten dieser Matrix bestehen aus den Fundamentallösungen z_1 und z_2. Zur Erinnerung: es ist $\begin{eqnarray*} z_1(x) = e^{-3x} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2(x) = e^{2x} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mithin ist also $\begin{eqnarray*} Y(x) = \begin{pmatrix} \color{red}-2e^{-3x} & \color{blue} e^{2x} \\ \color{red} e^{-3x} & \color{blue} 2e^{2x} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die allgemeine Lösung des homogenen DGL-Systems $\begin{eqnarray*} z'(x) = A \cdot z(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ läßt sich nun mittels der Fundamentalmatrix auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} z(x) = Y(x) \cdot c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin mußt du das verstanden haben, ansonsten macht alles weitere keinen Sinn. Ende der Durchsage.

09.08.2018, 14:50

BadisGood

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Ah jetzt verstehe ich ein wenig besser .
Bis hierhin alles klar.
Ja ich bin dir auch dankbar ,dass du mir hilfst Big Laugh

Wie geht es weiter ?

09.08.2018, 15:02

klarsoweit

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Wie ich oben schon sagte, wendet man die Methode "Variation der Konstanten" an. Dabei macht man aus der Konstanten $\begin{eqnarray*} c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} c(x) = \begin{pmatrix} c_1(x) \\ c_2(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und macht damit den Ansatz $\begin{eqnarray*} z(x) = Y(x) \cdot c(x) \end{eqnarray*}$ (*) .

In einer separaten Rechnung kann man zeigen (deine Aufgabe fürs Wochenende Augenzwinkern

), daß die Ableitung von z(x) so aussieht:
$\begin{eqnarray*} z'(x) = Y'(x) \cdot c(x) + Y(x) \cdot c'(x) \end{eqnarray*}$ (**).

Die Beziehungen für z(x) und z'(x) (siehe (*) und (**) ) setzt du nun in die inhomogene DGL z' = A*z + b ein.

Ich drücke die Daumen, daß du das schaffst. smile

09.08.2018, 15:18

BadisGood

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[quote]Original von BadisGood
Es ist die erste Ableitung denke ich Big Laugh

$\begin{eqnarray*} Y(x) = -2e^{-3x}*c1(x) + e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y'(x) =-2e^{-3x} *c1'(x)+6e^{-3x}*c1(x) +2e^{2x} \end{eqnarray*}$

Also die oberen Ableitungen in diese Funktion einsetzen?

09.08.2018, 15:32

klarsoweit

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Ich hatte oben schon drastische Worte gewählt, um dir klar zu machen, daß dieser Beitrag Unfug ist.
Meine ganzen Erklärungen, daß Y(x) eine Matrix ist, ignorierst du aufs Neue, und schreibst da irgendeinen Kram hin. unglücklich

Was zu tun ist, habe ich oben gesagt. Mehr gibt es auch nicht zu sagen. Auf Wiedersehen.

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