Konvergenz untersuchen

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08.08.2018, 09:18

doki1994

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Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Ist das so richtig formuliert ?

Meine Ideen:
Anhang

08.08.2018, 09:30

Leopold

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Aus der Ungleichung $\begin{align*} \frac{n_0}{\operatorname{e}} < \varepsilon \end{align*}$ folgt: $\begin{align*} n_0 < \operatorname{e} \varepsilon \end{align*}$ . Als Beispiel können wir $\begin{align*} \varepsilon = 0{,}0001 \end{align*}$ nehmen:

$\begin{align*} n \leq n_0 < \operatorname{e} \cdot \, 0{,}0001 = 0{,}00027 \ldots \end{align*}$

Und was sagt nun diese Ungleichung aus?

08.08.2018, 09:40

doki1994

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Desto größer wir epsilon wählen, desto schneller nähern wir uns an die 0 an.

Bzw desto größer wir epsilon wählen, desto kleiner wählen wir n_0.

Da e*epsilon sehr schnell gegen die 0 geht muss ja n_0=0 gewählt werden somit die Gleichung erfüllt ist.

08.08.2018, 09:54

Leopold

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Zitat:

Original von doki1994
Desto größer wir epsilon wählen, desto schneller nähern wir uns an die 0 an.

In dieser Aussage ist kein Sinn erkennbar.

Zitat:

Original von doki1994
Bzw desto größer wir epsilon wählen, desto kleiner wählen wir n_0.

Und was hat das nun mit Konvergenz zu tun?

Zitat:

Original von doki1994
Da e*epsilon sehr schnell gegen die 0 geht muss ja n_0=0 gewählt werden somit die Gleichung erfüllt ist.

$\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ ist eine fest vorgegebene Zahl $\begin{align*} >0 \end{align*}$ (die man sich aber gerne als "sehr klein" vorstellen darf). $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ "geht" also nicht.

Deine ganzen Ausführungen kranken daran, daß du in irgendwelche Formeln oder Beziehungen etwas einsetzt, dann etwas ausrechnest, dir aber zu keinem Zeitpunkt klar ist, warum du irgendwo etwas einsetzt und warum du es gerade da einsetzt und was das Ergebnis der Rechnung schließlich für eine Bedeutung hat.

Es hat überhaupt keinen Sinn, hier weiterzumachen, bevor dir nicht klar geworden ist, was die $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ - $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ -Definition des Grenzwerts überhaupt bedeutet. Für ein erstes Verständnis schau einmal hier.

08.08.2018, 11:42

doki1994

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Ich hab es mal skizziert,

ich habe b=0 als Grenzwert gewählt ,was gleich unserer Abszissenachse ist.

Weiter habe ich n=5 als grenze für meine Skizze gewählt.

{1/e ; 2/e^2 ; 3/e^3 ; 4/e^4 ; 5/e^5}={b_1 , b_2 , b_3 , b_4 , b_5}

Wenn ich es richtig verstanden habe, liegt bei der Wahl von epsilon immer ein ganzer Folgenschwanz zwischen epsiolin und dem Grenzwert, egal wie klein ich es wähle.

Also bedeutet n<= n_0 <eps*e :

Wählen wir eps so klein wie möglich, trotzdem ist ein ganzer Folgenschwanz zwischen dem gewählten eps und Grenzwert ?

08.08.2018, 12:04

klarsoweit

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Also wählen wir mal epsilon = 1 . Dann könnte man n_0 = 2 wählen, denn es ist dann n_0 < epsilon * e bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{n_0}{e} < \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ . Daraus müßtest du jetzt folgern können, daß für alle n mit n >= n_0 gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{e} < \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$

Das scheitert aber schon für n=3. Das Problem ist, daß in der Grenzwert-Definition die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |b_n - b| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n >= n_0 gelten muß. Du hast aber in deiner Rechnung ein n <= n_0 daraus gemacht. geschockt

Im übrigen sind Überlegungen wie "Nenner ist größer als Zähler, also konvergiert der Quotient gegen 0" äußerst gefährlich und stimmen generell nicht, wie man leicht an $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ sehen kann. Lehrer

08.08.2018, 12:20

Leopold

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$\begin{align*} b_n = \frac{n}{\operatorname{e}^n} \, , \ \ n \geq 1 \end{align*}$

Du ziehst die Sache von vorneherein falsch auf. Du mußt mit $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ anfangen!

Wir vermuten $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ als Grenzwert. Jetzt zeichnen wir einen $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Parallelstreifen um $\begin{align*} y=b=0 \end{align*}$ (also die Geraden $\begin{align*} y = -\varepsilon \end{align*}$ und $\begin{align*} y = \varepsilon \end{align*}$ ). Und wenn nun, egal, wie klein wir $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ gewählt haben, immer (!) ein Folgenschwanz im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Parallelstreifen liegt, dann ist $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ der Grenzwert.

Beispiel 1
$\begin{align*} \varepsilon = 1 \end{align*}$

Der Folgenschwanz $\begin{align*} b_1,b_2,\ldots \end{align*}$ (also die ganze Folge) liegt im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen.

Beispiel 2 ( $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ verkleinern)
$\begin{align*} \varepsilon = 0{,}2 \end{align*}$

Der Folgenschwanz $\begin{align*} b_3,b_4,b_5,\ldots \end{align*}$ liegt im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen.

Beispiel 3 ( $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ weiter verkleinern)
$\begin{align*} \varepsilon = 0{,}01 \end{align*}$

Der Folgenschwanz $\begin{align*} b_7,b_8,b_9,\ldots \end{align*}$ liegt im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen.

Beispiel 4 ( $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ weiter verkleinern)
$\begin{align*} \varepsilon = 0{,}00001 \end{align*}$

Der Folgenschwanz $\begin{align*} b_{15},b_{16},b_{17},\ldots \end{align*}$ liegt im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen.

Jetzt haben wir an vier Beispielen überprüft, daß immer ein ganzer Folgenschwanz im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen lag (alle Glieder mit $\begin{align*} n \geq n_0 = 1 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} n \geq n_0 = 3 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} n \geq n_0 = 7 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} n \geq n_0 = 15 \end{align*}$ ). Vier Beispiele reichen aber nicht. Du mußt nachweisen, daß das für jeden beliebigen $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen so ist. Dabei mußt du nicht immer den optimalen Folgenschwanz finden, wie in den vier Beispielen, es genügt, daß du überhaupt einen Folgenschwanz findest, der im $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Streifen liegt. Das heißt, du darfst in der Rechnung geeignet abschätzen. Nur mußt du dieses Mal besser abschätzen. Dein erster Versuch war untauglich. Man muß auf $\begin{align*} n \geq n_0 \end{align*}$ hinarbeiten, nicht auf $\begin{align*} n \leq n_0 \end{align*}$ .

08.08.2018, 13:03

doki1994

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Danke du bist mir eine große Hilfe !

Also , wenn ich es nochmal abschätze

08.08.2018, 13:07

klarsoweit

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Aus deiner Zwischenrechnung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^n} < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ folgt aber nicht, daß $\begin{eqnarray*} \frac{n}{e^n} < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ist. geschockt

08.08.2018, 13:25

doki1994

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Fehlt ein Zwischenschritt ?

Die Ungleichung gilt doch für alle n :/

Wie schätzt man denn sonst?
Muss man irgendwie ln anwenden ?

08.08.2018, 13:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von doki1994
Die Ungleichung gilt doch für alle n :/

Das mag ja sein, aber was du anführst, ist kein Beweis.

Falls ihr irgendwo mal bewiesen habt, daß $\begin{eqnarray*} e^x > \frac 1 2 x^2 \end{eqnarray*}$ ist, würde ich es damit versuchen. Augenzwinkern

08.08.2018, 13:38

doki1994

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Hab ich mal gesehen smile

Aber wär mir nie eingefallen guter Tipp Danke !!

schnell zusammengefasst :

n/e^n < 2n/n^2 = 2/n <= 2/n_0 < eps und es folgt

2/eps <n_0

Hoffe dieses Mal richtig smile

08.08.2018, 13:49

klarsoweit

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OK, jetzt bin ich einverstanden. Allerdings solltest du für den Leser den Beweis in der "Vorwärts-Richtung" aufschreiben. Also:

Zu epsilon > 0 wähle n_0 mit $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{2}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle n mit n >= n_0: ....

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