Basis und Dimension eines Vektorraumes

08.08.2018, 11:52

Josika

Basis und Dimension eines Vektorraumes

Meine Frage:
Hallo, ich weiß einfach nicht an folgende Aufgabe heran zu gehen.Ich weiß was Basis und Dimension sind. Kann diese allerdings nur für Konkrete Matritzen und nicht allgemeine Umschreibungen bestimmen/ berechnen.

Sei V der Vektorraum der reellen 2x2 Matritzen mit verschwindender Spur

$\begin{eqnarray*} V= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb R \wedge 2x2 a+d=0 \right\} \end{eqnarray*}$

(Also über dem Zeichnen für reelle Zahlen soll 2x2 stehen und dann unter der Bedinung: a+d= 0)

a) Bestimmen Sie die Dimension und finden Sie eine Basis von V.
b) Geben Sie ein Skalarprodukt auf V an und finden SIe eine Orthonormalbasis von V bezüglich dieses Skalarprodukts

ich hoffe die Formel funktioniert. Ist das erste Mal für mich Big Laugh

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.08.2018, 13:58

klarsoweit

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RE: Basis und Dimension eines Vektorraumes

Zitat:

Original von Josika
Sei V der Vektorraum der reellen 2x2 Matritzen mit verschwindender Spur

$\begin{eqnarray*} V= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb R \wedge 2x2 a+d=0 \right\} \end{eqnarray*}$

(Also über dem Zeichnen für reelle Zahlen soll 2x2 stehen und dann unter der Bedinung: a+d= 0)

Gemeint ist also: $\begin{eqnarray*} V= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2x2} ~|~ a+d=0 \right\} \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt wäre also, eine Basis von V zu finden. Das sollte ja nicht allzu schwer sein. smile

09.08.2018, 13:57

Josika

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RE: Basis und Dimension eines Vektorraumes
Also die Basis bestimme ich dann mit den Variablen? Ich weiß wirklich nicht wie ich das mit Variablen tun soll. ich hätte einfach geschrieben

$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

09.08.2018, 14:00

Josika

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Mit konkreten Vektoren/ Zahlen kann ich das aber mein Gehirn verabschiedet sich bei Aufgaben mit variablen Hammer

09.08.2018, 14:09

klarsoweit

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Punkt 1: falls du mit Variablen echte Probleme hast, frage ich mich, was du in der Hochschulmathe erwartet hast? Das ist da kein Kindergeburtstag.

Punkt 2: eine Basis kann ja durchaus aus Elementen (Vektoren) bestehen, deren Komponenten tatsächlich aus "echten" Zahlen bestehen. Allerdings mußt du noch in deinem Verständnis ein paar Hürden überwinden. Deine Basis besteht aus 2-komponentigen Vektoren. Der Vektorraum V hingegen besteht aus 2x2-Matrizen. Das paßt also schon nicht zusammen. Vielleicht solltest einfach mal ein paar konkrete Elemente des Vektorraums V hinschreiben. smile

09.08.2018, 14:18

Josika

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So war es nicht gemeint, natürlich habe ich kein Problem mit Variablen. War wahrscheinlich etwas ungünstig ausgedrückt.

Aber Vektoren sind doch Elemente des Vektorraums? Und eine Basis eines Vektorraums besteht aus Vektoren.

09.08.2018, 14:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Josika
So war es nicht gemeint, natürlich habe ich kein Problem mit Variablen. War wahrscheinlich etwas ungünstig ausgedrückt.

Nun ja, immerhin verabschiedet sich dein Gehirn. smile

Zitat:

Original von Josika
Aber Vektoren sind doch Elemente des Vektorraums? Und eine Basis eines Vektorraums besteht aus Vektoren.

Soweit ja. Aber Vektoren können alles mögliche sein: Tupel aus übereinander geschriebenen Komponenten, Matrizen, Polynome, ...

In diesem Fall kann man aus der Definition des Vektorraums V leicht ablesen, daß es sich um 2x2-Matrizen mit bestimmten Eigenschaften handelt. Und um dir den Einstieg zu erleichtern, solltest du mal ein paar Elemente von V explizit angeben.

09.08.2018, 17:17

Leopold

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RE: Basis und Dimension eines Vektorraumes

Zitat:

Original von Josika
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Genau so ist es. Jetzt versuche einmal, drei feste Matrizen zu finden, so daß

$\begin{align*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{pmatrix} \end{align*}$

gilt. Dann hast du die Aufgabe im wesentlichen gelöst.

09.08.2018, 17:53

Josika

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Danke dir Leopold!

Ich dachte ich müsse eine Basis aus Variablen erstellen.
Dann ist

$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

09.08.2018, 17:55

Josika

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Die Dimension ist somit 3.

über die zweite Aufgabe mache ich mir morgen dann erst mal in Ruhe noch mal Gedanken. Du hast mir sehr weiter geholfen.

09.08.2018, 17:55

Leopold

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Ja, das ist eine Basis. Ist dir klar, warum? Und wie sieht es mit der Dimension aus?

09.08.2018, 18:14

Josika

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Ja mir ist klar warum, ich hatte mich nur so auf Vektoren versteift.

Basis: minimales Erzeugendensytem mit dem alle Elemente des V durch linearkombination dargestellt werden können

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Basis und Dimension eines Vektorraumes

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