Ober/Untersumme Integral

09.08.2018, 07:43

DerJoker

Ober/Untersumme Integral

Guten Morgen,

ich würde gerne $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi }{3} } \! \frac{3}{\cos(x)^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ per Ober/Untersumme bestimmen. Als Zerlegung habe ich $\begin{eqnarray*} Z = \left(x_{0},..., x_{n} \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{i} = \frac{\pi j}{3n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \in \left\{ 0,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ gewählt. Nun habe ich schon mehrere Dinge versucht wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(x)^{2} } = tan(x)^2+1 \end{eqnarray*}$ zu benutzen oder $\begin{eqnarray*} Re(e^{ix}) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ . So wirklich viel gebracht hat mir bisland leider beides nicht traurig

. Die Obersumme sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} OS(f,Z) = \frac{\pi }{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{1}{\cos(\frac{\pi j}{3n})^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Wie kommt man nun weiter? Über einen Tipp würde ich mich freuen.

Freundliche Grüße

DerJoker

09.08.2018, 07:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von DerJoker
$\begin{eqnarray*} OS(f,Z) = \frac{\pi }{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{1}{\cos(\frac{\pi j}{3n})^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Wie kommt man nun weiter?

Vielleicht gar nicht - bist du dir sicher, dass es überhaupt eine geschlossene Darstellung für diese Summe gibt, oder hoffst du das nur? verwirrt

09.08.2018, 08:07

DerJoker

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Hallo. Davon ging ich jetzt erst mal aus. Die Aufgabe steht in einem Skript am Ende eines Kapitels, indem noch keine Stammfunktionen behandelt wurden. Sondern nur Themen wie Ober/Unter/Zwischensummen, Linearität, Monotonie, Additivität und die Dreiecksungleichung von Integralen. Daher dachte, dass Ober/Untersumme die richtige Wahl wäre.

Freundliche Grüße

DerJoker

09.08.2018, 08:29

HAL 9000

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Es ist natürlich auch immer noch ein Unterschied, ob man diese Summe für einige konkrete $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ berechnen soll - oder ob man eine geschlossene, für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gültige Formel aufstellen soll. Bist du dir daher wirklich sicher, dass letzteres gefordert wird? verwirrt

09.08.2018, 08:40

DerJoker

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Hi. Ich gebe mal den Wortlaut der Aufgabe wieder:

Bestimme die folgenden Integrale.

a. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi }{3} } \! \frac{3}{\cos(x)^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
b. ...

Mehr ist dort nicht angegeben. Wie gesagt... Ich ging davon aus aufgrund des vorherigen Kapitels im Skript. Vielleicht ist aber auch etwas von den anderen mir genannten Dingen nützlich. Oder die Aufgabe steht an "falscher" Stelle im Skript.

Freundliche Grüße

DerJoker

09.08.2018, 08:52

HAL 9000

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"Bestimmen des Integrals" und "Aufstellen expliziter Formeln für Ober- und Untersumme" sind doch zwei Paar Schuhe. Ersteres ist doch kein Problem hier (sofern der Hauptsatz bereits bekannt ist), zweiteres schon.

Anderes Beispiel: Die Berechnung $\begin{eqnarray*} \int\limits_1^2 \frac{1}{x} ~ \dd x = \ln(2) \end{eqnarray*}$ ist kein Problem. Eine explizite Formel für die Obersumme

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k} = \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

hingegen schon...

09.08.2018, 09:04

DerJoker

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Hi. Zu dem Zeitpunkt war der Hauptsatz im Skript noch nicht bekannt. Wenn du vermutest, dass es sich hierbei um einen Fehler (sei es meinerseits aufgrund der Annahme der Verwendung von Ober/Untersummen oder aufgrund des Dozenten) handelt, so glaube ich dir. Dachte halt aufgrund der Platzierung im Skript wäre eine Berechnung mittels Ober/Untersummen kein wirkliches Problem.

Freundliche Grüße

DerJoker

09.08.2018, 11:45

HAL 9000

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Mir jedenfalls gelingt keine signifikante Vereinfachung, und dem CAS meiner Wahl (MATLAB-MuPAD) auch nicht. Das muss jetzt nicht bedeuten, dass es nicht doch irgendwie möglich ist, aber es ist auf jeden Fall nicht einfach.

09.08.2018, 12:21

DerJoker

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mir jedenfalls gelingt keine signifikante Vereinfachung, und dem CAS meiner Wahl (MATLAB-MuPAD) auch nicht. Das muss jetzt nicht bedeuten, dass es nicht doch irgendwie möglich ist, aber es ist auf jeden Fall nicht einfach.

Ok. Dann werde ich die Aufgabe so wie ich sie interpretiert habe vermutlich ruhen lassen. Vielen Dank für deine Hilfe Wink

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