Nullteiler und Einheiten im Ring

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matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullteiler und Einheiten im Ring
Hallo Leute,

ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe, diesmal geht es um Ringe.

Ich habe folgenden Ring .




a) Zeigen Sie: Zusammen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation wird zu einem Ring.

Das ist mir soweit klar. Ich muss eigentlich nur die Axiome durchgehen (Abelsche Gruppe bzgl. Addition und Monoid bzgl. Multiplikation). Allerdings komme ich mit diesem nicht klar ... verwirrt

b) Sind und Nullteiler?
c) Sind und Einheiten? Berechnen Sie gegebenfalls ein multiplikativ inverses Element.
d) Berechnen Sie alle Nullteiler von .
e) Berechnen Sie alle Einheiten von .

Die Definition von Nullteilern und Einheiten ist auch soweit klar. Auch hier störe ich mich an diesem .

Könnt ihr mir weiterhelfen bzw. ein Tipp geben?

Vielen Dank im voraus!

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzige, was man dabei wirklich wissen muß ist
 
 
fksldfjkdfa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

um zu zeigen, dass ein Ring ist, musst du einfach die Axiome prüfen.
Das ist dir ja soweit klar.
Dabei ist eigentlich nur interessant die multiplikativen Inversen der Elemente angeben.

Wie du mit dem umgehst, ist eigentlich klar.
Guck dir gegebenenfalls an, wie man mit der Imaginären Einheit umgeht, wenn du eine komplexe Zahl hast.

Das Stichwort ist eigentlich ausklammern und sonst nicht verwirren lassen.

Etwa für die Nullteiler:



musst du eigentlich nur ein Element finden, für das gilt:



Oder präziser:



Um der Analogie mit den komplexen Zahlen zu folgen machst du jetzt einen Vergleich mit "Realteil" und "Imaginärteil". Oder halt in dem Fall -Teil und "Ganzerteil".

Du erhältst also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Koeffizienten a, b die es zu bestimmen gilt.

Alles funktioniert hier im Grunde mit dieser Methode, wenn ich das richtig überschaue.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtiger Hinweis zur Arbeitserleichterung: Du darfst R als Teilmenge der komplexen Zahlen auffassen. Weil diese einen Körper, also auch einen Ring bilden, gelten alle Rechenregeln für alle Elemente von R. Du musst beweisen, dass die Addition und Multiplikation in R abgeschlossen sind und dass die neutralen und inversen Elemente in R liegen.
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure schnellen Rückmeldungen. Ich habe derweil noch ein wenig weiter bezüglich der Theorie solcher Ringe weitergesucht - im Skript steht nur als Beispiel:

R ist Körper. Es gilt: R ist isomorph zu . Wie ihr schon gesagt habt, wir sind jetzt in den komplexen Zahlen. Auch habe ich ein gutes Video der Universität Tübingen entdeckt, in dem der Dozent über adjungierte Ringe redet. Falls jemand hier ein ähnliches Problem beim Verständnis dieser Ringe haben sollte, hier der Link: timms.uni-tuebingen.de/tp/UT_20140527_001_lineal2_0001 (adjungierte Ringe ab Minute 14.)

Ich versuche mich jetzt erstmal weiter an der Lösung dieser Aufgabe! Vielen Dank schon mal für eure Hilfe! smile

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du etwas missverstanden. ist kein Körper, sonst müsste das multiplikative inverse Element für alle in liegen, das ist aber offenbar nicht so ... oder kannst du als Element von darstellen ?

Manchmal bezeichnet man so wie vor langer Zeit (um 1900 ?) mit den Körper der rationalen Zahlen oder den Körper der reellen Zahlen. In diesen Fällen ist eine quadratische Körpererweiterung von , also ein algebraischer Zahlkörper, also ein Körper, und ist eine quadratische Körpererweiterung von , kann also nur gleich dem Körper der komplexen Zahlen sein.
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube das ist jetzt mein Fehler. Die Angabe, dass R ein Körper ist, ist eine Aussage aus dem Skript. Diese bezieht sich nicht auf mein R (den adjungierten Ring aus der Aufgabe). smile

Ich danke dir dennoch für deine Rückmeldung. Schließlich habe ich wieder was dazu gelernt. Daher vielen Dank dafür! smile


Viele Grüße
Matthias
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a) komme ich immer noch auf keinen grünen Zweig. verwirrt

Alle anderen Teilaufgaben habe ich - meiner Meinung nach - soweit gelöst.

b) Weder noch sind Nullteiler. Es muss gelten . Nach Einsetzen von folgt: . Nach Einsetzen von folgt: .

c) und sind auch keine Einheiten. Es muss gelten: (siehe b) ).

d) Alle Nullteiler müssen die Gleichung erfüllen: .
Daher gibt es keine Nullteiler. ist immer positiv für . Gleiches gilt für . Das ist ebenfalls immer positiv für .

e) Die einzigen Einheiten sind nur . Es muss gelten und , damit die Gleichung erfüllt ist.

Habt ihr eventuell noch eine Ansatzhilfe für die a)? Vielen Dank im voraus smile

Viele Grüße
Matthias
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist mir wohl ein Fehler in der Latex-Kodierung passiert. "a /0" sollte heißen und entsprechend "b /0" -> .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht, denn es ist Nullteiler bzw. Einheit, wenn es ein gibt mit bzw. .
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

vielen Dank für deine schnelle Rückmeldung. Das Produkt von kann doch nur sein, wenn entweder oder gilt. Und ist doch als Nullteiler nicht erlaubt?

Entsprechend ist doch das Produkt von , wenn und somit eine Einheit. So wie in e) gezeigt. Genauer genommen sind die Einheiten also .

Oder habe ich mal wieder etwas falsch verstanden und mich zu früh gefreut...?

Viele Grüße
Matthias
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ausmultipliziert von ergibt sich doch:


.

Damit ein Nullteiler gefunden werden kann, muss doch das Produkt von und das Produkt von schon mal sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu früh gefreut. Selbst wenn es stimmen sollte, hast du es nicht bewiesen. Die letzte Rechnung musst du genauer machen. Ich sehe erst mal nur ac=-bd. warum beide 0 sein sollen ist unklar.
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Rückmeldung.

Ok. Dann bin ich doch schon auf dem richtigen Weg? Nur muss ich es noch allgemeiner fassen? smile

Also nochmal komplett.

Ausgangssituation:




.

Entsprechend muss das Produkt von sein. Dann hätte mal folgende Fälle:

Wenn , dann ist es klar, alles ist dann .

ergibt:

ergibt:

ergibt: (denn (wenn .

Entsprechend auch der umgekehrte Fall, wenn .

Habe ich was übersehen? verwirrt

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Fallunterscheidungen genügen nicht. Warum sollte von vornherein oder gleich sein? Der Wunsch würde damit erfüllt werden, gut und schön, aber nur im Märchen kommt die gute Fee und erfüllt Wünsche. In der Mathematik musst du das beweisen, und du darfst nicht das voraussetzen, was du beweisen musst.

Tipp: Wenn es einen Nullteiler gibt, dann ist . Damit kannst du arbeiten, und es bleibt zu zeigen oder .
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

danke dir nochmal für deine unermüdliche Hilfe.

Ich denke jetzt bin ich auf einem guten Weg.

Nochmal von vorne:

Sei Nullteiler in R, dann gibt es ein mit .

Damit folgt .
Entsprechend gilt dann (wie du schon gesagt hast): .

Hier müsste ich doch wieder eine Fallunterscheidung machen und entsprechend zu einem Widerspruch kommen und somit dann zeigen, dass es keine Nullteiler gibt? verwirrt


Weil ich nicht weiter gekommen bin, habe ich in der Zwischenzeit Aufgabenteil a) mal gelöst und noch ein bisschen mehr Verständnis für diese adjungierten Ringe aufgebaut...

z.Z: R ist Ring:
(1) Abgeschlossenheit bzgl + und *: und .

Entsprechend gibt es auch neutrale Elemente:
Bzgl. +:
Bzgl. *:

Weiter gilt (inverses Element bzgl +):

Distributivität, Assoziativität und Kommutativität abzutippen spare ich mir jetzt... Ich hoffe das ist erlaubt.

Vielen Dank im voraus smile

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nullteiler:

Du musst überlegen ob nicht durch 0 dividiert wurde.
So ähnlich muss es auch für Einheiten gehen...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sicherlich sinnvoll, nicht alle Rechenregeln im Detail nachzuweisen. Hast du eine gute Idee, warum man R als Teilmenge und damit als Teilring der komplexen Zahlen auffassen kann? Weißt du, warum man dann die Rechenregeln geschenkt bekommt?
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

vielen Dank für deine Lösung. Das Zauberwort heißt wie in anderen Fällen auch: Umstellen smile Herzlichen Dank dafür!

Für Einheiten ist es dann entsprechend:



Zu deiner zweiten Frage:
R kann meiner Meinung nach als Teilmenge / Teilring der komplexen Zahlen aufgefasst werden, weil ich unter der Wurzel eine negative Zahl stehen habe. Damit ist sie laut Definition eine "imaginäre Zahl". Und da ich die Wurzel einer negativen Zahl nicht als reelle Zahl schreiben kann, befinde ich mich in den komplexen Zahlen. Ist das soweit korrekt? smile Und da ich mich in befinde, gelten automatisch Assoziativität, Kommutativität und Distributivität.

Ich hätte noch eine Frage zu dem Thema: Was wäre, wenn ich folgendes hätte: , dann wäre ich doch in und nicht in . Somit hätte ich auch Nullteiler. Da im aktuellen Fall aber als Körper nullteilerfrei ist, sind entsprechend auch die Teilmengen nullteilerfrei. Ist das soweit korrekt, oder sehe ich das falsch?

Vielen Dank im voraus und nochmal Danke! für die Hilfe

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig, aber auch die reellen Zahlen sind ein Körper, also nullteilerfrei..
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Also ist auch ein Körper. allerdings nicht, da ich in den ganzen Zahlen keine Inverse bezüglich der Multiplikation habe.

Vielen Dank dir nochmal, Elvis! Du hast mir mal wieder sehr weitergeholfen smile

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du jetzt noch beachtest, dass und wegen Einheiten im Ring sind, darfst du dich über die nicht vorhandenen Einheiten ausser +1 und -1 in durchaus wundern. Lehrer
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo, und alle anderen Einheiten, die Dirichlet uns geschenkt hat. Tanzen
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