Minimalflächen

13.08.2018, 09:03

Mesut95

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Minimalflächen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich bin dabei eine Seminararbeit über Minimalflächen zu halten.
Ich habe hier ein Beweis den ich leider nicht so verstehe.

Meine Ideen:
Der Beweis sieht wie folgt aus (siehe Bilder).
Ich verstehe die Idee des Beweises nicht. Soll das ein Indirekter Beweis sein?
Warum gilt für <H(p),N(p)> >0 kann mir jemand helfen bitte ?

13.08.2018, 09:06

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Die Bilder bzw. Der Beweis.

13.08.2018, 14:17

Huggy

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RE: Minimalflächen
Mit der Materie bin ich nicht vertraut, aber da bisher sonst niemand geantwortet hat, schreibe ich mal, was ich den Bildern entnehme.

Zitat:

Original von Mesut95
Ich verstehe die Idee des Beweises nicht. Soll das ein Indirekter Beweis sein?

Ganz offensichtlich. Man nimmt an, die zu beweisende Behauptung sei falsch und leitet daraus einen Widerspruch zu einer schon bewiesenen Eigenschaft von Minimalflächen ab.

Zitat:

Warum gilt für <H(p),N(p)> >0

Da steht nicht, dass das generell gilt. Man soll $\begin{eqnarray*} \mathcal N(p) \end{eqnarray*}$ so wählen, dass das gilt. $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ sind beides Normalenfelder der betrachteten Fläche. Die können parallel oder antiparallel sein. Sind sie parallel, ist das Skalarprodukt positiv, es sei denn $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ ist der Nullvektor. Man soll also schlicht $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ wählen.

13.08.2018, 14:56

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Hallo Huggy!

Ich bedanke mich bei dir Herzlich für die Antwort smile

smile

Ich versuche mal schritt für schritt mir den Beweis anzuschauen und diesen zu verstehen:

Angenommen H(p) ist ungleich (0,0,0)^T für einen Punkt p element S.
In einer Umgebung von p betrachten wir das glatte Einheitsnormalenfeld N, für das
<H(p), N(p)> >0 ist.

Hier ist meine Frage:

****Warum betrachten wir das glatte EinheitsnormalenFeld in einer Umgebung von p?
Soweit ich jetzt verstanden habe setzen wir vorraus <H(p), N(p)> >0 ( Jedoch muss es nicht so sein). ****

Weiter gehts mit dem Beweis:

Aus Stetigkeitsgründen gilt dann auf einer Umgebung V von p in S immernoch <H,N>.

****Warum ist das so aus Stetigkeitsgründen? ****

Wir wählen eine glatte Funktion f mit Kompaktem träger supp f teilmenge V, f>=0 , f(p)>=0.
Durch .......(Funktion)
Ist ein glattes Normalenfeld auf S mit Kompaktem träger definiert. Also ist Integral >0.

**** Eine glatte Funktion ist eine Differenzierbare funktion mit Kompaktem träger bedeutet eine Teilmenge
des definitionbereiches wo die Fkt nicht null wird. Wieso setzen wir f>=0 und f(p)>=0 ?
Wozu ist das wichtig ?
Und warum wird aus der Funktion ein glattes Normalenfeld auf S mit Kompaktem träger definiert ? Wie folgert man das ? Wie kommt man zu der schlussfolgerung das, das Integral größer null ist ? ****

Anderseit haben die deformierten fläcjen St den selben Rand wie S. Da S minimalen
Flächeninhalt unter allen solchen flächen hat gilt:

...=0

dies steht im Widerspruch zur Variationsformel.

**** warum steht das im Widerspruch zur Variationsformel?****

Tut mir leid für soviele Fragen unglücklich

unglücklich

ich bedanke mich bei dir schonmal

13.08.2018, 16:11

Mesut95

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RE: Minimalflächen
EDIT:

**** warum steht das im Widerspruch zur Variationsformel?****
Das habe ich jetzt verstanden. Das ist mir klar. Wenn S eine Minimalfläche ist, muss das Integral gleich 0 ergeben. Oben wurde aber gezeigt das es >0 ist daher der Widerspruch...

13.08.2018, 17:24

Huggy

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RE: Minimalflächen

Zitat:

Original von Mesut95
Warum betrachten wir das glatte EinheitsnormalenFeld in einer Umgebung von p?

Man will, dass ein Integral $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ wird. Dazu muss man über ein Gebiet integrieren. Das Integral über einen einzelnen Punkt ist immer Null, auch wenn der Integrand $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Soweit ich jetzt verstanden habe setzen wir vorraus <H(p), N(p)> >0 ( Jedoch muss es nicht so sein)

.
Wichtig ist, dass man $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ so wählen kann.

Zitat:

Aus Stetigkeitsgründen gilt dann auf einer Umgebung V von p in S immernoch <H,N>. ****Warum ist das so aus Stetigkeitsgründen? ****

Das folgt doch aus dem Wesen der Stetigkeit. Wenn es keine Umgebung gäbe, in der das gilt, dann gäbe es in jeder Umgebung einen Punkt, in dem gilt $\begin{eqnarray*} <\mathcal H, \mathcal N > \;\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Aus diesen Punkten könnte man eine Folge konstruieren, die gegen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ konvergiert, bei der aber $\begin{eqnarray*} <\mathcal H, \mathcal N> \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} <\mathcal H(p), \mathcal N(p)> \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dann wäre das Skalarprodukt nicht stetig, was es aber als Komposition stetiger Funktionen sein muss.

Zitat:

Wieso setzen wir f>=0 und f(p)>=0 ? Wozu ist das wichtig ?

Damit das Normalenfeld $\begin{eqnarray*} \phi(q) \end{eqnarray*}$ auch immer parallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ ist und nicht in der ganzen Umgebung 0 ist.

Zitat:

Und warum wird aus der Funktion ein glattes Normalenfeld auf S mit Kompaktem träger definiert?

Vermutlich geht ein solches Feld in den Beweis der Variationsformel ein. $\begin{eqnarray*} \phi (q) \end{eqnarray*}$ beschreibt ja eine Deformation der Fläche in Richtung ihres Normalenvektors in der Größe $\begin{eqnarray*} f(q) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie kommt man zu der schlussfolgerung das, das Integral größer null ist

Wenn der Integrand in der betrachteten Umgebung überall $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch das Integral darüber $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ .

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13.08.2018, 19:04

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Ich bedanke mich bei dir für diese ausführliche Antwort. Freude

Freude

und Entschuldige mich bei meiner Schreibart ( War mit dem Handy unterwegs).

Ich habe einiges verstanden und einiges nicht so gut..

Bei uns ist das Einheitsnormalenfeld wie folgt definiert. (Siehe Anhang 1).
Wir wählen N sodass $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ > 0 gilt.

$\begin{eqnarray*} H_{welle}=H*N \end{eqnarray*}$ daher ist doch Theoretisch gesehen:

$\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ = H also die mittlere Krümmung. Wählen wir also diese größer 0 ?

Das was aus der Stetigkeit folgt:

Deine Begründung sieht mir nach dem Folgenkriterium aus.
Sowie ich das verstehe:
Wenn $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ >0 ist und es kein Gebiet geben würde wo
$\begin{eqnarray*} < H_{welle},N> \end{eqnarray*}$ >0 ist so können wir aus den Punkten $\begin{eqnarray*} < H_{welle},N> \end{eqnarray*}$ <0 eine Folge Konstruieren die gegen p Konvergiert wobei aber
$\begin{eqnarray*} < H_{welle},N> \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ konvergiert , da ja
wie oben gesagt $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ >0 ist.
so meinst du das oder ? Also habe ich das richtig verstanden?

so bis hier hin habe ich es zum teil verstanden.

Unser Ziel ist es doch zu zeigen das $\begin{eqnarray*} <H_{welle},\phi> \end{eqnarray*}$ >0 ist, damit wir
daraus folgern das das Integral ebenso >0 sein muss.
Wieso wir das Einheitsnormalenfeld betrachten ist mir ein rätsel..
Ist die Idee vllt das wir zeigen das H welle, Phi Positiv sind und daraus das Skalarprodukt?
Wenn ja wieso betrachten wir H_welle nicht einzel sowie phi?

Warum wurde Phi Abschnnitsweise definiert ?
Der Nullvektor macht es ja möglich das phi=0 ist und somit das Skalarprodukt von H_welle und phi gleich null ist.
Oder betrachtet man nur das erste ? Wie können wir denn beim ersten sicher gehen das:

f(q)*N(q) >0 ist ?

13.08.2018, 21:34

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Ich bin etwas verwirrt

verwirrt

Das Ziel ist es zu zeigen das $\begin{eqnarray*} <H_{welle},\phi> \end{eqnarray*}$ >0 ist und somit wollen wir folgern das, das Integral >0 ist und dies zu einem Widerspruch führen zur Variationsformel.

Ich weiß das wir $\begin{eqnarray*} \phi(q) \end{eqnarray*}$ so wählen das es Parallel zu H ist.
Wenn Zwei Vektoren Parallel zueinander sind ist das Skalarprodukt Positiv.

Woher wissen wir aber das $\begin{eqnarray*} \phi(q) \end{eqnarray*}$ Parallel ist zu H_welle?
Du meintest wegen f>=0 und f(p)>0 aber so richtig verstehen tue ich es nicht.

Weiterhin verstehe ich nicht wofür wir den Anfangstext brauchen. Also der Text bis:

..."Wir wählen eine glatte Funktion f"...

Ist denn $\begin{eqnarray*} <H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ nicht Parallel zueinander ?
Wegen $\begin{eqnarray*} H_{welle}= H*N(p) \end{eqnarray*}$ ?

14.08.2018, 09:13

Huggy

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RE: Minimalflächen
Es doch $\begin{eqnarray*} \mathcal H_{Welle}=\mathcal H \end{eqnarray*}$ oder? Weshalb also die neue Bezeichnung?

Zitat:

Original von Mesut95
$\begin{eqnarray*} H_{welle}=H*N \end{eqnarray*}$

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} \mathcal H=H \mathcal N_f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N_f \end{eqnarray*}$ gemäß deinem Anhang.

Zitat:

daher ist doch Theoretisch gesehen: $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ = H also die mittlere Krümmung. Wählen wir also diese größer 0 ?

Nein. Es ist jetzt $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ zu wählen. Das soll auch ein Einheitsnormalenfeld sein, wie es $\begin{eqnarray*} \mathcal N_f \end{eqnarray*}$ eins ist. Da gibt es nur 2 Möglichkeiten: $\begin{eqnarray*} \mathcal H=\mathcal H_f \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathcal H=-\mathcal H_f \end{eqnarray*}$ . Damit das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ wird, ist bei $\begin{eqnarray*} H > 0 \end{eqnarray*}$ die erste Möglichkeit zu wählen und bei $\begin{eqnarray*} H<0 \end{eqnarray*}$ die zweite Möglichkeit zu wählen.

Aus dem späteren Widerspruch ergibt sich dann, dass bei einer Minimalfläche $\begin{eqnarray*} \mathcal H=(0,0,0) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} H=0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Zitat:

Sowie ich das verstehe: Wenn $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ >0 ist und es kein Gebiet geben würde wo $\begin{eqnarray*} < H_{welle},N> \end{eqnarray*}$ >0 ist so können wir aus den Punkten $\begin{eqnarray*} < H_{welle},N> \end{eqnarray*}$ <0 eine Folge Konstruieren die gegen p Konvergiert wobei aber $\begin{eqnarray*} < H_{welle},N> \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ konvergiert , da jawie oben gesagt $\begin{eqnarray*} < H_{welle}(p),N(p)> \end{eqnarray*}$ >0 ist. so meinst du das oder ? Also habe ich das richtig verstanden?

Ja. Alternativ könnte man mit der $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Definition der Stetigkeit direkt einen passende Umgebung konstruieren, z. B. indem man $\begin{eqnarray*} \epsilon = < \mathcal H(p),\mathcal N(p)>/2 \end{eqnarray*}$ wählt.

Zitat:

Unser Ziel ist es doch zu zeigen das $\begin{eqnarray*} <H_{welle},\phi> \end{eqnarray*}$ >0 ist, damit wir daraus folgern das das Integral ebenso >0 sein muss. Wieso wir das Einheitsnormalenfeld betrachten ist mir ein rätsel..

Du könntest einfach akzeptieren, dass das zum Ziel führt. Der Grund liegt, wie ich schon oben sagte, ziemlich sicher darin dass das so konstruierte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ schon beim Beweis der Variationsformel benutzt wird, um Flächendeformationen zu erzeugen. Schau mal in deinem Skript nach.

Zitat:

Wenn ja wieso betrachten wir H_welle nicht einzel sowie phi?

Das sind doch Vektoren. Vektoren sind weder größer Null noch kleiner Null. Erst das Skalarprodukt hat diese Eigenschaften, weil es einfach eine Zahl ist.

Zitat:

Warum wurde Phi Abschnnitsweise definiert ?

Das hat offenbar rein technische Gründe. Man hat ja 2 Umgebungen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . In der einen ist $\begin{eqnarray*} <\mathcal H, \mathcal N>\; >0 \end{eqnarray*}$ und in der anderen ist $\begin{eqnarray*} f>0 \end{eqnarray*}$ . Die beiden Umgebungen werden im allgemeinen nicht gleich sein. Integriert wird über die erste Umgebung. Damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht außerhalb der zweiten Umgebung das Vorzeichen wechselt, definiert man es dort zu Null. Effektiv integriert wird also über den Schnitt der beiden Umgebungen und dort ist dann definitiv $\begin{eqnarray*} <\mathcal H, \phi> \; >0 \end{eqnarray*}$ .

Das soll erst mal genügen. Zu deinen weiteren Fragen kommen wir, wenn diese hier geklärt sind.

14.08.2018, 10:26

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Guten morgen Huggy.
Die neue Bezeichnung für H habe ich benutzt, da ich nicht wusste wie man ein H deiner Art definiert.
Ja soweit habe ich es glaube ich verstanden. Vielen Dank.
Das Ziel ist doch das wir phi Parallel zu H wählen damit der Integrand Positiv ist. Womit haben wir das nun sichergestellt? Könntest du auf mein letzten beitrag eingehen bitte ?

14.08.2018, 11:12

Huggy

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RE: Minimalflächen

Zitat:

Original von Mesut95
Die neue Bezeichnung für H habe ich benutzt, da ich nicht wusste wie man ein H deiner Art definiert.

Ah, verstehe. Wenn du bei meinen Antworten mal auf Zitat klickst, siehst du den Latexcode für die Formeln.

Zitat:

Das Ziel ist doch das wir phi Parallel zu H wählen damit der Integrand Positiv ist. Womit haben wir das nun sichergestellt? Könntest du auf mein letzten beitrag eingehen bitte ?

Zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ sind definitionsgemäß parallel, wenn gilt $\begin{eqnarray*} v_1=\lambda v_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Durch geeignete Wahl des Vorzeichens von $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ hat man erreicht, dass gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal H =|H|\mathcal N \end{eqnarray*}$ . Damit sind $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ parallel. Nun ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} f \geq 0 \end{eqnarray*}$ festgelegt wurde. Also ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auch parallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wir wählen eine glatte Funktion f

Man betrachte in der Differentialgeometrie meist glatte Flächen oder zumindest solche, die hinreichend oft differenzierbar sind. Da über $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nach meiner Vermutung die deformierten Flächen erzeugt werden, hat man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ glatt angesetzt. Für obigen Beweis würde $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig genügen. Mehr hat man nicht benutzt.

14.08.2018, 11:27

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Ah ok ich verstehe.
Langsam ergibt das alles ein Sinn. Du bist echt sehr gut Respekt! Freude

Freude

phi ist Parallel zu N:

Dann ist ja N(q)=f(q)N(q)

dann ist also unser f das lambda was >=0 ist stimmts?
Dann macht es ja auch Sinn wieso wir mit <H, N> >0 angesetzt haben..
Wozu ist es Wichtig das f(p)>0 ist ? Was wäre denn wenn wir f(p)<0 wählen würden?

Ich weiß nicht warum ich mich so schwer tue mit dem Beweis. Ich liebe eigentlich Beweise zu führen.. Mit Zunge

Mit Zunge

14.08.2018, 11:33

Mesut95

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RE: Minimalflächen
EDIT: Das mit dem Kuss war ein versehen. Sorry. verwirrt

verwirrt

14.08.2018, 11:44

Huggy

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RE: Minimalflächen

Zitat:

Original von Mesut95
Dann ist ja N(q)=f(q)N(q)

Die Zeile versteh ich nicht. Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} f(q) \end{eqnarray*}$ =1.

Zitat:

dann ist also unser f das lambda was >=0 ist stimmts?

Ja.

Zitat:

Wozu ist es Wichtig das f(p)>0 ist ? Was wäre denn wenn wir f(p)<0 wählen würden?

Die Frage verstehe ich nach allem, was wir diskutiert haben nicht. Dann wäre $\begin{eqnarray*} \lambda <0 \end{eqnarray*}$ und damit wäre $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ antiparallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ und damit auch antiparallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich weiß nicht warum ich mich so schwer tue mit dem Beweis. Ich liebe eigentlich Beweise zu führen.. Mit Zunge

Mit Zunge

Vielleicht liegt es daran, dass der Beweis mit einigen technischen Details belastet ist, die für die Logik des Beweises irrelevant sind, die aber notwendig sind, damit alles mathematisch sauber durchgeführt ist.

Zitat:

EDIT: Das mit dem Kuss war ein versehen. Sorry.

Kein Problem. Habe den Schmatz sorgfältig abgewischt. Big Laugh

Big Laugh

14.08.2018, 11:58

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Wie kann ich es denn korrekt aufschreiben das N und Phi Parallel zueinander sind ?

N= fN mit f>=0 ?

Soweit hat sich eigentlich alles geklärt. Ich denke wenn ich mich nochmal dahin setze und alles konzentriert durchlese
Von dir werde ich es verstehen, leider geht das erst gegen 16uhr da ich arbeiten muss. (Praktikum)
Ich muss dann noch ein Beweis führen zur Variationsformel. Wenn du mir dabei helfen könntest würde ich mich wirklich sehr sehr freuen. Vielen Dank für alles Freude

Freude

14.08.2018, 13:08

Huggy

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RE: Minimalflächen

Zitat:

Original von Mesut95
Wie kann ich es denn korrekt aufschreiben das N und Phi Parallel zueinander sind ?

N= fN mit f>=0 ?

Dann muss doch zwangsläufig auf der einen Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} \mathcal N \end{eqnarray*}$ auftauchen und auf der anderen Seite $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Und das steht ja schon so in der Definition von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \phi=f \mathcal N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich muss dann noch ein Beweis führen zur Variationsformel. Wenn du mir dabei helfen könntest würde ich mich wirklich sehr sehr freuen. Vielen Dank für alles Freude

Freude

Das muss sich zeigen. Wie ich schon zu Anfang sagte, bin ich mit der Materie der Minimalflächen nicht vertraut.

14.08.2018, 13:31

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Ja genau so meinte ich es auch:

Phi= Nf= N N ist ja ein Vektor.
Ich versuche nur es genau so aufzuschreiben wie du mit

v1=v2*lambda hier ist v1 zu v2 Parallel mit lambda>0.

Und genanso habe ich auch bei

Phi= Nf=N überlegt.

Mhh ich schreib lieber mal heute Abend wieder ich glaube ich mache nur unsinn

15.08.2018, 13:52

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Hi Huggy smile

smile

Hab mein neuen Thread geöffnet.
Wenn du mir helfen könntest den Beweis zu verstehen würde ich mich sehr freuen.
Wenn du keine Zeit oder lust hast ist das auch kein Problem smile

smile

Die Berechnung wo man die erste Fundamental Form berechnet verstehe ich nicht und diese ist schon wichtig.
verwirrt

verwirrt

24.08.2018, 22:39

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Sei $\begin{eqnarray*} f: B \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ein regulär parametrisiertes Flächenstück weiter sei $\begin{eqnarray*} U \subset B \end{eqnarray*}$ ein beschränktes Gebiet in B. f ist genau dann eine Minimalfläche, falls A'(0)=0 für alle solche U und alle normalen Variationen von $\begin{eqnarray*} f_{s}^{\sigma}(B) \end{eqnarray*}$ gilt.

Bemerkung: H ist die mittlere krümmung.

Beweis: Ist f eine Minimalfläche so gilt H=0, und die Bedingung ist erfüllt. Nehmen wir nun an das die Bedingung erfüllt ist und $\begin{eqnarray*} H(u)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ . Wählen wir $\begin{eqnarray*} \sigma: U \to R \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \sigma(u)=H(u) \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} \sigma [\latex]<br /> identisch null ist außerhalb einer kleinen umgebung von u. Dann ist A'(0) <0 für die durch dieses \sigma bestimmte Variation. <br /> Dies führt zu einem Widerspruch [latex]H(u)\neq 0 \end{eqnarray*}$ kann nicht gelten wenn A'(0) gelten soll.

ist dieser Beweis so richtig ? wäre cool wenn du mal drüber schauen könntest.

Prost Prost

Prost

25.08.2018, 13:58

Huggy

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RE: Minimalflächen

Zitat:

Original von Mesut95
Sei $\begin{eqnarray*} f: B \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ein regulär parametrisiertes Flächenstück weiter sei $\begin{eqnarray*} U \subset B \end{eqnarray*}$ ein beschränktes Gebiet in B. f ist genau dann eine Minimalfläche, falls A'(0)=0 für alle solche U und alle normalen Variationen von $\begin{eqnarray*} f_{s}^{\sigma}(B) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist es wirklich das, was du beweisen möchtest? Falls ja, dazu wird keine Kenntnis von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ benötigt. Die Fläche $\begin{eqnarray*} A(s) \end{eqnarray*}$ der variierten Flächenstücke ist doch einfach einfach eine Funktion des Scharparameters $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Notwendige Bedingung für ein lokales Minimum von $\begin{eqnarray*} A(s) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A'(s)=0 \end{eqnarray*}$ . Das ist Schulstoff. Wenn das Minimum bei $\begin{eqnarray*} s=0 \end{eqnarray*}$ liegen soll, muss also gelten $\begin{eqnarray*} A'(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Beweisen möchte man doch, dass für eine Minimalfläche $\begin{eqnarray*} H=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Dazu berechnet man zunächst

$\begin{eqnarray*} A'(s)=-2\int\limits_{\mathcal B_s}<\phi,\mathcal H> dB \end{eqnarray*}$

Wenn man nun $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ wählt, erfordert $\begin{eqnarray*} A'(s)=0 \end{eqnarray*}$ daher $\begin{eqnarray*} \mathcal H=(0,0,0) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} H=0 \end{eqnarray*}$ . Technische Details, wie regulär parametrisiert, Umgebungen etc. habe ich weggelasssen.

25.08.2018, 14:49

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Hi Huggy. Sorry, ich habe mir soviele Defnitionen angeschaut und dich nun auch komplett verwirrt.
Schau dir mal mein Beweis an. Ist ein Latex ausdruck aus meiner Seminararbeit.
Könnte ich diesem Beweis so stehen lassen was meinst du ?

25.08.2018, 16:31

Huggy

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RE: Minimalflächen
So ist es aus meiner Sicht richtig. Das unterscheidet sich auch von dem, was du vorher geschrieben hattest, auch wenn du vorher vielleicht das Gleiche gemeint hattest.

25.08.2018, 16:34

Mesut95

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RE: Minimalflächen
Super das freut mich jetzt echt.
Also ist der Beweis wirklich so in Ordnung? Also ich meine alles wie ich geschrieben habe und so?

Danke mein bester Prost

Prost

25.08.2018, 16:49

Huggy

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RE: Minimalflächen
Aus meiner Sicht ja, alles.
Wenn du einen Betreuer für deine Seminararbeit hast, solltest du es natürlich mit ihm noch mal durchgehen, bevor du abgibst.

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