Herleitung des Poisson-Kerns auf Kreisscheiben aus Lösung des Dirichlet-Problems mit Greenscher Fkt.

13.08.2018, 18:12	s-t-18	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung des Poisson-Kerns auf Kreisscheiben aus Lösung des Dirichlet-Problems mit Greenscher Fkt. Meine Frage: Ich soll die folgende Äquivalenz zeigen: Die Gleichung $\begin{eqnarray} <br /> u(y)=-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\partial G}v(x)^dg(x,y).<br /> \end{eqnarray}$ entspricht auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray} <br /> P_\Delta v(x)=\int\limits_{\partial\Delta} v(x) P_{R}{(x,y)}dx<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Da wir uns auf dem Einheitskreis befinden, lässt sich die zweite Gleichung auch darstellen als: $\begin{eqnarray} <br /> P_\Delta v(x)=\int\limits_{\partial D} v(x)\frac{1}{2\pi}\frac{1-{\|y\|}^2}{\|x-y\|^2}dx.<br /> \end{eqnarray}$ Die erste Gleichung habe ich wie folgt umgeformt: $\begin{eqnarray} <br /> u(y)&=\int\limits_{\partial D}v(x)(-\frac{1}{2\pi})^dg(x,y)\\<br /> &=\int\limits_{\partial D}v(x)(-\frac{1}{2\pi})^d(h(x)-\log{\|{x-y}\|})\\<br /> &=\int\limits_{\partial {D}}v(x)(-\frac{1}{2\pi})^d(h(x)) - \int\limits_{\partial {D}}v(x)(-\frac{1}{2\pi})^d(\log{\|{x-y}\|})\\<br /> &=\int\limits_{\partial {D}}v(x)\frac{1}{2\pi}\, ^d(\log{\|{x-y}\|})<br /> \end{eqnarray*}$ und mir fehlt der letzte Schluss. Könnt ihr mir weiterhelfen? Ich wäre sehr dankbar. Willkommen im Matheboard! Ich habe die Korrektur aus dem zweiten Beitrag übernommen und diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen

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