2 Gleichungen mit 2 unbekannten Winkeln

13.08.2018, 18:31

Math18

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2 Gleichungen mit 2 unbekannten Winkeln

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier das Problem , dass ich 2 Gleichungen mit 2 unbekannten Winkel hab. Das wäre einmal Phi i und Phi a.
Xges und Yges sind gegeben.

Gleichung:

Xges = 3*sin(phi i)*cos(phi i)-3*sin(phi a)*cos(phi a)

Yges = 3*sin(phi i)*sin(phi i)-3*sin(phi a)*sin(phi a)

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre zuerst für "sin*(phi i)*cos(phi i)", 0,5*sin(2*phi i) einzusetzten und dasselbe auch bei phi a. Somit erhalten wir die Gleichung:

Xges = 3*0,5*sin(2*phi i)-3*0,5*sin(2*phi a)

Xges = 1,5*sin(2*phi i)-1,5*sin(2*phi a)

Durch umformen:
+ 1,5*sin(2*phi a)
/ 1,5
arcsin
/ 2

phi i = arcsin((Xges+1,5*sin(2*phi a))/1,5)*1,5.

Die Gleichung für phi i würde ich jetzt in die Gleichung Yges einsetzen und erhalte:

Yges = 3*sin(arcsin((Xges+1,5*sin(2*phi a))/1,5)*1,5)^2 - 3*sin(phi a)^2

so ungenau hier komme ich nicht weiter.
Ich weiß das ich die Yges gleichung nach "phi a" umformen muss und diese dann in die Gleichung von phi i, jeodch schaffe ich es nicht die Gleichung nach "phi a" umzuformen.

Ich danke euch schonmal im Vorraus!

13.08.2018, 19:49

HAL 9000

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Erstmal lesbar machen:

$\begin{eqnarray*} X_{ges} = 3\sin(\varphi_i)\cos(\varphi_i) - 3\sin(\varphi_a)\cos(\varphi_a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_{ges} = 3\sin(\varphi_i)\sin(\varphi_i) - 3\sin(\varphi_a)\sin(\varphi_a) \end{eqnarray*}$ .

Dein $\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber für die zweite Gleichung ist ja wohl eher was anderes angebracht, nämlich $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}X_{ges} = \sin(2\varphi_i) - \sin(2\varphi_a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}Y_{ges} = -\cos(2\varphi_i) + \cos(2\varphi_a) \end{eqnarray*}$

Am besten eliminiert man jetzt einen der beiden Winkel, z.B. durch Nutzung des trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ , etwa angewandt auf $\begin{eqnarray*} x=2\varphi_a \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1 = \left( \sin(2\varphi_i) - \frac{2}{3}X_{ges}\right)^2 + \left( \cos(2\varphi_i) + \frac{2}{3}Y_{ges} \right)^2 \end{eqnarray*}$

usw.

21.08.2018, 12:00

Math18

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Hallo HAL 9000,
Danke dir für die ausführliche Antwort! Jedoch bin ich mit deiner Gleichung nicht weitergekommen.
Wie würdest du die Sache jetzt angehen?

21.08.2018, 13:08

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Gemeint ist

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2\varphi_a)+\cos^2(2\varphi_a)=1 \to sin(2\varphi_a) = \sqrt {1-\cos^2(2\varphi_a)} = \sqrt {1-\left( \cos(2\varphi_i) + \frac{2}{3}Y_{ges} \right)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

und nun

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}X_{ges} = \sin(2\varphi_i) - \sin(2\varphi_a) = \sin(2\varphi_i) - \sqrt {1-\left( \cos(2\varphi_i) + \frac{2}{3}Y_{ges} \right)^2} \to \varphi_i = \dots \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

21.08.2018, 14:30

HAL 9000

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Hab schon gedacht, der Fragesteller ist verschollen...

----------------------------

Zu den Wurzeln würde ich gar nicht gehen (Vorzeichenärger), ist ja auch gar nicht nötig.

Ich verstehe die Frage von Math18 auch eher so, dass er nicht weiß, wie es von hier aus dann weitergeht. Die letzte Gleichung ausmultipliziert und eine wenig umgruppiert ergibt

$\begin{eqnarray*} 1 = \sin^2(2\varphi_i) + \cos^2(2\varphi_i) + \frac{4}{3}\left( -X_{ges}\sin(2\varphi_i) + Y_{ges}\cos(2\varphi)\right) + \frac{4}{9}\left(X_{ges}^2 + Y_{ges}^2\right) \end{eqnarray*}$

Etwas umgestellt bekommt man

$\begin{eqnarray*} X_{ges}\sin(2\varphi_i) - Y_{ges}\cos(2\varphi) = \frac{1}{3}\left(X_{ges}^2 + Y_{ges}^2\right) \end{eqnarray*}$

Das knackt man am besten, wenn man die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} R,\psi \end{eqnarray*}$ des Punktes $\begin{eqnarray*} (X_{ges},Y_{ges}) \end{eqnarray*}$ heranzieht, mit denen ist $\begin{eqnarray*} X_{ges}=R\cos(\psi),Y_{ges}=R\sin(\psi) \end{eqnarray*}$ , was zur Gleichung

$\begin{eqnarray*} \cos(\psi)\sin(2\varphi_i) - \sin(\psi)\cos(2\varphi) = \frac{R}{3} \end{eqnarray*}$

führt, mit Additionsthereom links dann $\begin{eqnarray*} \sin(2\varphi_i-\psi) = \frac{R}{3} \end{eqnarray*}$ , das ergibt die beiden Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} \varphi_i = \frac{1}{2}\left( \psi+\arcsin\left(\frac{R}{3}\right)\right) + k\pi \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \varphi_i = \frac{1}{2}\left( \psi+\pi-\arcsin\left(\frac{R}{3}\right)\right) + k\pi \end{eqnarray*}$ .

21.08.2018, 15:30

Math18

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Willkommen im Matheboard!

Gemeint ist

$\begin{eqnarray*} \sin^2(2\varphi_a)+\cos^2(2\varphi_a)=1 \to sin(2\varphi_a) = \sqrt {1-\cos^2(2\varphi_a)} = \sqrt {1-\left( \cos(2\varphi_i) + \frac{2}{3}Y_{ges} \right)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

und nun

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}X_{ges} = \sin(2\varphi_i) - \sin(2\varphi_a) = \sin(2\varphi_i) - \sqrt {1-\left( \cos(2\varphi_i) + \frac{2}{3}Y_{ges} \right)^2} \to \varphi_i = \dots \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

Soweit habe ich es schon verstanden, aber wie stelle ich es jetzt nach $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ um?
Wenn ich es umforme dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} sin(2\varphi_i)^{2} +cos(2\varphi_i)^{2} = \frac{2}{3}Xges +\frac{4}{9}Yges+1 \end{eqnarray*}$

Wie stelle ich $\begin{eqnarray*} sin(2\varphi_i)^{2} +cos(2\varphi_i)^{2} \end{eqnarray*}$ am besten um, um $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ zuerhalten.

Mein Ziel am ende ist eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_a \end{eqnarray*}$ zu bekommen.

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21.08.2018, 15:40

Math18

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hab schon gedacht, der Fragesteller ist verschollen...

----------------------------

Zu den Wurzeln würde ich gar nicht gehen (Vorzeichenärger), ist ja auch gar nicht nötig.

Ich verstehe die Frage von Math18 auch eher so, dass er nicht weiß, wie es von hier aus dann weitergeht. Die letzte Gleichung ausmultipliziert und eine wenig umgruppiert ergibt

$\begin{eqnarray*} 1 = \sin^2(2\varphi_i) + \cos^2(2\varphi_i) + \frac{4}{3}\left( -X_{ges}\sin(2\varphi_i) + Y_{ges}\cos(2\varphi)\right) + \frac{4}{9}\left(X_{ges}^2 + Y_{ges}^2\right) \end{eqnarray*}$

Etwas umgestellt bekommt man

$\begin{eqnarray*} X_{ges}\sin(2\varphi_i) - Y_{ges}\cos(2\varphi) = \frac{1}{3}\left(X_{ges}^2 + Y_{ges}^2\right) \end{eqnarray*}$

Das knackt man am besten, wenn man die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} R,\psi \end{eqnarray*}$ des Punktes $\begin{eqnarray*} (X_{ges},Y_{ges}) \end{eqnarray*}$ heranzieht, mit denen ist $\begin{eqnarray*} X_{ges}=R\cos(\psi),Y_{ges}=R\sin(\psi) \end{eqnarray*}$ , was zur Gleichung

$\begin{eqnarray*} \cos(\psi)\sin(2\varphi_i) - \sin(\psi)\cos(2\varphi) = \frac{R}{3} \end{eqnarray*}$

führt, mit Additionsthereom links dann $\begin{eqnarray*} \sin(2\varphi_i-\psi) = \frac{R}{3} \end{eqnarray*}$ , das ergibt die beiden Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} \varphi_i = \frac{1}{2}\left( \psi+\arcsin\left(\frac{R}{3}\right)\right) + k\pi \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \varphi_i = \frac{1}{2}\left(\psi+\pi-\arcsin\left(\frac{R}{3}\right)\right) + k\pi \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich es so machen würde, bräuchte ich aber noch den Winkel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und R. Alles was mir bekannt ist sind $\begin{eqnarray*} Xges \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Yges \end{eqnarray*}$

21.08.2018, 15:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Math18
Wenn ich es so machen würde, bräuchte ich aber noch den Winkel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und R. Alles was mir bekannt ist sind $\begin{eqnarray*} Xges \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Yges \end{eqnarray*}$

Fettgedruckt hatte ich es schon - muss ich es auch noch rot markieren, damit es ankommt? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zitat:

Original von HAL 9000
Das knackt man am besten, wenn man die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} R,\psi \end{eqnarray*}$ des Punktes $\begin{eqnarray*} (X_{ges},Y_{ges}) \end{eqnarray*}$ heranzieht

Wenn du noch nie von Polarkoordinaten gehört hast bzw. wie man sie berechnet, dann schlag das bitte nach.

21.08.2018, 16:13

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Math18
Soweit habe ich es schon verstanden, aber wie stelle ich es jetzt nach $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ um?

Da mein CAS die Gleichung ohne Probleme in zwei Arcustangensausdrücke auflösen konnte, gehe ich davon aus, dass es hier $\begin{eqnarray*} \sin2x = \frac {2 \tan x}{1+\tan^2 x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos2x = \frac {1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} \end{eqnarray*}$ verwendet und dann substituiert hat.

21.08.2018, 16:57

HAL 9000

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Ja, das ist wohl rum wie num ob man wie ich oben zwei Lösungen modulo $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 2\varphi_i \end{eqnarray*}$ via Arkussinus-Auflösung ermittelt, oder aber via Auflösung einer quadratischen Gleichung für $\begin{eqnarray*} \tan(\varphi_i) \end{eqnarray*}$ dann zwei Lösungen modulo $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ selbst.

21.08.2018, 17:30

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, das ist wohl rum wie num

Du meinst gehoppt wie gedoppt?

21.08.2018, 17:42

HAL 9000

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Nein, allenfalls "gehupft wie gesprungen". Big Laugh

Big Laugh

21.08.2018, 17:53

Leopold

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"Rum wie num - kenne ich. "Gehupft wie gesprungen" - kenne ich auch. "Gehoppt wie gedoppt" - zuvor noch nie gehört. Kulturgrenzen in Deutschland.

22.08.2018, 12:43

Math18

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Math18
Wenn ich es so machen würde, bräuchte ich aber noch den Winkel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und R. Alles was mir bekannt ist sind $\begin{eqnarray*} Xges \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Yges \end{eqnarray*}$

Fettgedruckt hatte ich es schon - muss ich es auch noch rot markieren, damit es ankommt? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zitat:

Original von HAL 9000
Das knackt man am besten, wenn man die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} R,\psi \end{eqnarray*}$ des Punktes $\begin{eqnarray*} (X_{ges},Y_{ges}) \end{eqnarray*}$ heranzieht

Wenn du noch nie von Polarkoordinaten gehört hast bzw. wie man sie berechnet, dann schlag das bitte nach.

Doch ich habe es schon erkannt, aber ich brauche die Gleichung um bei Excel ein Berechnungsprogramm zu erstellen. Es ist übrigens die Berechnung für einen Doppelexzenter.

Es soll am ende so ablaufen das ich in Excel den Wert für Xges und Yges eingebe und er mir dann dementsprechend sagt um wieviel Grad ich den innerenexzenter ( $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ ) und den äußerenexzenter ( $\begin{eqnarray*} \varphi_a \end{eqnarray*}$ ) drehen soll.

Deshalb ist es unpraktisch wenn ich jedesmal für neue Xges und Yges Werte mir den Winkel und den Radius heranziehen muss.

Und ja, ich weiß was Polarkooardinaten sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

22.08.2018, 13:08

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Math18
Deshalb ist es unpraktisch wenn ich jedesmal für neue Xges und Yges Werte mir den Winkel und den Radius heranziehen muss.

Das verstehe ich jetzt nicht. Das sind doch auch nur zwei weitere Excelfunktionen. Die Formel wird also entweder länger oder Du spendierst zwei weitere Felder.

23.08.2018, 10:42

HAL 9000

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Zum Polarkoordinatenwinkel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ , dazu gibt es in vielen Programmiersprachen und auch in EXCEL die Funktion ATAN2, die diese Winkelberechnung ohne zusätzliche Fallunterscheidungen bequem erledigt:

https://support.office.com/en-us/article...28-c96b3a565033

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