Beweis: Teiler <=> Ideale

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matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Teiler <=> Ideale
Hallo zusammen,

bei mir geht es ununterbrochen weiter mit Fragen smile Ich habe mal wieder eine Aufgabe, wo ich nochmal eure Hilfe benötigen könnte...

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

(a) Zeigen Sie, dass die Menge a ist ein Teiler von n alle Ideale von enthält.

(b) Zeigen Sie, dass all diese Ideale paarweise verschieden sind.

Meine Idee: Beweise mit Mengeninklusion bzw. über die Gleichheit zweier Mengen

Menge a ist ein Teiler von n
Menge Menge aller Ideale in

(a)

Sei , d.h. mod , dann ist ein Teiler von .

Eventuell kann man irgendwie damit arbeiten, dass ein Hauptidealring ist, d.h. jedes Ideal ist Hauptideal in , somit ist auch Hauptideal und kann mit einem Element erzeugt werden.

Wie beweise ich jetzt daraus, dass entsprechend auch die Eigenschaften für Menge erfüllt? Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch und weiß nicht so recht, welche Eigenschaften eigentlich die Menge der Ideale besitzt, die x erfüllen muss....

Hat jemand von euch eventuell eine Idee?

Viele Grüße
Matthias
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Teiler <=> Ideale
Verdammt.

Die Eigenschaften für ein Element der Menge liegen ja auf der Hand. Es muss sich "einfach" um ein Ideal handeln.

Entsprechend muss gelten:
-
-
-

Aber wie geht es jetzt weiter? Wie zeige ich, dass diese Eigenschaften erfüllt? Kann ich sagen: erzeugt ?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In welchem Ring sind wir und was ist ? Ich verstehe die Aufgabe nicht.
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
In welchem Ring sind wir und was ist ? Ich verstehe die Aufgabe nicht.


Vermutlich ist hier gemeint. Ich finde diese gängige Schreibweise auch nicht besonders gut.
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt bitte. Es handelt sich hier um den Restklassenring , in dem wir uns auch befinden.

Beispiel:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für Primzahl ist ein Körper und hat nur die Ideale und . Diese sind Hauptideale, aber sie sind für ungerade Primzahlen nicht alle paarweise verschieden. Zum Beispiel ist . Allgemeiner: Jedes von verschiedene Element erzeugt das -Ideal, weil invertierbar ist.
matthias_1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

vielen Dank für deine Rückmeldung smile

Ich verstehe noch nicht ganz, wie mir deine Aussage für den Beweis weiterhilft. Klar ist, dass im Falle mit Primzahl gilt: ist ein Körper und hat nur die trivialen Ideale und . Jetzt gibt es aber auch noch Restklassenringe, die keine Körper sind? Da gibt es ja immer noch die nicht trivialen Ideale..

Meinst du mit deiner Aussage, ich kann die Restklassenringe ausklammern, die nur die trivialen Ideale enthalten? Ich habe lange darüber nachgedacht, wie ich deine Aussage in dem geforderten Beweis unterbringen kann. Leider keine Idee...

Hast du noch einen Tipp?

Viele Grüße
Matthias
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte darauf hinweisen, dass die Aussage b) der Aufgabe falsch ist. Das Gegenbeispiel zeigt überdeutlich, dass die Hauptideale nicht paarweise verschieden sind, denn sie sind ja für gleich. Gleich ist nicht verschieden, oder ? Disjunkt sind sie ganz sicher auch nicht, denn ist in jedem Ideal enthalten. Was soll also (paarweise) verschieden sein ?

Tipp zu a): Die Ringe sind endlich, also auch die Ideale, also sind sie endlich erzeugt. Das Beispiel der Körper lässt mich vermuten, dass der ggT der Erzeuger das Ideal erzeugt, was somit ein Hauptideal wäre.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: In b) geht es (wie auch in a)) nur um die Ideale mit einem Teiler von .
Dein Beispiel ist also kein Problem; es ist ja 2 kein Teiler von 3.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Man sieht wieder mal, dass es von Vorteil ist, wenn man lesen kann. Freude
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