Beweis: Teiler <=> Ideale

14.08.2018, 21:36

matthias_1990

Beweis: Teiler <=> Ideale

Hallo zusammen,

bei mir geht es ununterbrochen weiter mit Fragen smile

Ich habe mal wieder eine Aufgabe, wo ich nochmal eure Hilfe benötigen könnte...

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

(a) Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{a*Z_{n} | \end{eqnarray*}$ a ist ein Teiler von n $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$ alle Ideale von $\begin{eqnarray*} Z_{n} \end{eqnarray*}$ enthält.

(b) Zeigen Sie, dass all diese Ideale paarweise verschieden sind.

Meine Idee: Beweise mit Mengeninklusion bzw. über die Gleichheit zweier Mengen

Menge $\begin{eqnarray*} T = \{a * Z_{n} | \end{eqnarray*}$ a ist ein Teiler von n $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$
Menge $\begin{eqnarray*} L = \end{eqnarray*}$ Menge aller Ideale in $\begin{eqnarray*} Z_{n} \end{eqnarray*}$

(a)
$\begin{eqnarray*} T \subseteq L \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x \in T \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} n \equiv{0} \end{eqnarray*}$ mod $\begin{eqnarray*} {x} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Eventuell kann man irgendwie damit arbeiten, dass $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ein Hauptidealring ist, d.h. jedes Ideal ist Hauptideal in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , somit ist auch $\begin{eqnarray*} Z_{n} \end{eqnarray*}$ Hauptideal und kann mit einem Element erzeugt werden.

Wie beweise ich jetzt daraus, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ entsprechend auch die Eigenschaften für Menge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ erfüllt? Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch und weiß nicht so recht, welche Eigenschaften eigentlich die Menge der Ideale besitzt, die x erfüllen muss....

Hat jemand von euch eventuell eine Idee?

Viele Grüße
Matthias

14.08.2018, 22:16

matthias_1990

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RE: Beweis: Teiler <=> Ideale
Verdammt.

Die Eigenschaften für ein Element der Menge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ liegen ja auf der Hand. Es muss sich "einfach" um ein Ideal handeln.

Entsprechend muss gelten:
- $\begin{eqnarray*} 0 \in I \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in I: a + b \in I, a - b \in I \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \forall i \in I, r \in Z: i * r = r * i \in I \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es jetzt weiter? Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ diese Eigenschaften erfüllt? Kann ich sagen: $\begin{eqnarray*} \exists i \in L: x \end{eqnarray*}$ erzeugt $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ?

15.08.2018, 08:05

Elvis

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In welchem Ring sind wir und was ist $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehe die Aufgabe nicht.

15.08.2018, 08:12

DerJoker

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Zitat:

Original von Elvis
In welchem Ring sind wir und was ist $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehe die Aufgabe nicht.

Vermutlich ist hier $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gemeint. Ich finde diese gängige Schreibweise $\begin{eqnarray*} \mathbb Z _{n} \end{eqnarray*}$ auch nicht besonders gut.

15.08.2018, 09:52

matthias_1990

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Entschuldigt bitte. Es handelt sich hier um den Restklassenring $\begin{eqnarray*} Z_{n} \end{eqnarray*}$ , in dem wir uns auch befinden.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} Z_{4} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \} \end{eqnarray*}$

15.08.2018, 11:53

Elvis

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Für $\begin{eqnarray*} n=p \end{eqnarray*}$ Primzahl ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z=\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ ein Körper und hat nur die Ideale $\begin{eqnarray*} \{0\}=0\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p=1\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ . Diese sind Hauptideale, aber sie sind für ungerade Primzahlen nicht alle paarweise verschieden. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} 1\mathbb F_3=2\mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ . Allgemeiner: Jedes von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verschiedene Element $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ erzeugt das $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ -Ideal, weil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

16.08.2018, 10:23

matthias_1990

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Hallo Elvis,

vielen Dank für deine Rückmeldung smile

Ich verstehe noch nicht ganz, wie mir deine Aussage für den Beweis weiterhilft. Klar ist, dass im Falle $\begin{eqnarray*} n = p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Primzahl gilt: $\begin{eqnarray*} Z/pZ = F_{p} \end{eqnarray*}$ ist ein Körper und hat nur die trivialen Ideale $\begin{eqnarray*} \{0\} = 0F_{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{p} = 1F_{p} \end{eqnarray*}$ . Jetzt gibt es aber auch noch Restklassenringe, die keine Körper sind? Da gibt es ja immer noch die nicht trivialen Ideale..

Meinst du mit deiner Aussage, ich kann die Restklassenringe ausklammern, die nur die trivialen Ideale enthalten? Ich habe lange darüber nachgedacht, wie ich deine Aussage in dem geforderten Beweis unterbringen kann. Leider keine Idee...

Hast du noch einen Tipp?

Viele Grüße
Matthias

16.08.2018, 11:45

Elvis

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Ich wollte darauf hinweisen, dass die Aussage b) der Aufgabe falsch ist. Das Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} 1\mathbb F_3=2\mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ zeigt überdeutlich, dass die Hauptideale $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ nicht paarweise verschieden sind, denn sie sind ja für $\begin{eqnarray*} n=3, a_1=1\ne2=a_2 \end{eqnarray*}$ gleich. Gleich ist nicht verschieden, oder ? Disjunkt sind sie ganz sicher auch nicht, denn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist in jedem Ideal enthalten. Was soll also (paarweise) verschieden sein ?

Tipp zu a): Die Ringe sind endlich, also auch die Ideale, also sind sie endlich erzeugt. Das Beispiel der Körper lässt mich vermuten, dass der ggT der Erzeuger das Ideal erzeugt, was somit ein Hauptideal wäre.

16.08.2018, 14:04

10001000Nick1

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@Elvis: In b) geht es (wie auch in a)) nur um die Ideale $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ mit einem Teiler $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Dein Beispiel ist also kein Problem; es ist ja 2 kein Teiler von 3.

16.08.2018, 15:45

Elvis

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Danke. Man sieht wieder mal, dass es von Vorteil ist, wenn man lesen kann. Freude

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