Deiser 'Einführung in die Mengenlehre' - Seite 2

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07.09.2018, 01:11

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
D.h. die Menge ist also gleich a und a ist gleich der leeren Menge, ja?

Auf welche Menge beziehst du dich?

Zitat:

Original von Pippen
Die Menge von Männern in Deutschland wäre also nach ZFC gar keine zulässige Menge. Korrekt?

Ja. (aber: "...in ZFC keine zulässige Menge")

Zitat:

Original von Pippen
Komisch, dass die Philosophen oft mit solchen natürlich-sprachlichen Mengen arbeiten. Was benutzen die dann für ein System?

In der Philosophie beschäftigt man sich sowohl mit (i.S.d. formalen Logik) formalen als auch nicht-formalen Mengenbegriffen. Aber in beiden Fällen gibt es auch keine universellen Mengenbegriffe. Es kommt eben auf den Kontext an.

07.09.2018, 01:24

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Auf welche Menge beziehst du dich?

Auf die Menge M = {x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ }. Ist M = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ja, ich denke, wenn man sich einfach auf alle tatsächlich existierenden Dinge beschränkt, dann ist man auch mit der naiven Mengenlehre auf der sicheren Seite. Sowas wie die Russellsche Menge kann's da nicht geben, eben weil's widersprüchlich wäre und damit nicht existieren kann. Deshalb könnte man sich mE sogar als Konstruktivist mit naiver Mengenlehre begnügen, wenn man fordert, dass jede Menge konstruierbar sein muss. Auch da schließt man Widersprüche inzident aus.

07.09.2018, 01:56

Pippen

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Zitat:

Original von Pippen

Zitat:

Die Menge von Männern in Deutschland wäre also nach ZFC gar keine zulässige Menge. Korrekt?

Ja. (aber: "...in ZFC keine zulässige Menge")

Aber man kann natürlich eine ZFC-Menge mit 40 Mio. Elementen (die es ja gibt) so interpretieren, dass man die Elemente als "Männer" liest. Würde man in so einem Fall sagen, dass die ZFC-Menge mit den 40 Mio. Elementen ein Modell für die Männer in Deutschland wäre? Oder meinen Mathematiker was Anderes, wenn sie von Modellen reden?

07.09.2018, 02:02

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Auf die Menge M = {x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ }. Ist M = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Es ist $\begin{eqnarray*} M=A \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pippen
Ja, ich denke, wenn man sich einfach auf alle tatsächlich existierenden Dinge beschränkt, dann ist man auch mit der naiven Mengenlehre auf der sicheren Seite.

Es kommt, wie gesagt, auf den Kontext an. Zur Grundlegung der Mathematik reicht das jedenfalls nicht aus.

EDIT: Abgesehen davon, dass "naive Mengenlehre" kein klar definierter Begriff ist.

07.09.2018, 02:06

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Oder meinen Mathematiker was Anderes, wenn sie von Modellen reden?

Im Kontext von Logik (insbes. FO) ist das hier gemeint.

07.09.2018, 15:15

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
Auf die Menge M = {x | x $\begin{eqnarray*} \in A \wedge x \notin x \end{eqnarray*}$ }. Ist M = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Es ist $\begin{eqnarray*} M=A \end{eqnarray*}$ .

Da hakt's bei mir. M soll laut Definition alle Elemente aus A enthalten, die nicht sich selbst enthalten. Wir wissen, dass daraus folgt, dass es kein solches Element in A gibt, so dass M leer wäre. Wäre M = A und A nichtleer, dann würde deine Ansicht zum Widerspruch führen. Wäre A leer, dann wäre M trivial auch leer. Ist es wirklich falsch, wenn man M als leere Menge bezeichnet?

Noch einmal zum Modellbegriff: Nehmen wir mal an, es gäbe genau 42 Mio. Männer in Deutschland. Wir hatten gesehen, dass es in ZFC keine Menge der deutschen Männer gibt. Aber kann ich eine ZFC Menge mit 42 Mio. Elementen konstruieren, bei der ich anschließend die Elemente als "Männer" interpretiere (modelliere)? So könnte man doch ZFC auch für Alltagsprobleme verwenden, nicht?

07.09.2018, 19:00

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Da hakt's bei mir. M soll laut Definition alle Elemente aus A enthalten, die nicht sich selbst enthalten. Wir wissen, dass daraus folgt, dass es kein solches Element in A gibt, so dass M leer wäre.

In ZFC gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ . Diese Bedingung ist also keine Einschränkung.

Zitat:

Original von Pippen
Aber kann ich eine ZFC Menge mit 42 Mio. Elementen konstruieren, bei der ich anschließend die Elemente als "Männer" interpretiere (modelliere)? So könnte man doch ZFC auch für Alltagsprobleme verwenden, nicht?

Sicherlich kann man Logik und Mathematik zur Formalisierung bestimmter Nicht-Mathematischer Probleme benutzen. Wie sich das konkret gestaltet, hängt von der jeweiligen Situation ab.

07.09.2018, 22:39

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
In ZFC gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ .

Ach jetzt verstehe ich dich und dann hättest du recht. Aber ist das auch so, dass es in ZFC kein $\begin{eqnarray*} x \in x \end{eqnarray*}$ gibt? Wie beweist man das?

07.09.2018, 22:43

Pippen

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Ich möchte hier ein neues Buch empfehlen: http://matematicas.uis.edu.co/adrialba/s...0C%20Pinter.pdf

Das liest sich bisher deutlich besser als Deisler, weil die Beweise umfangreicher und besser lesbar sind; definitv anfängerfreundlicher.

07.09.2018, 22:57

foo

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Wenn $\begin{eqnarray*} x \in x \end{eqnarray*}$ , dann verstößt $\begin{eqnarray*} \{ x \} \end{eqnarray*}$ unmittelbar gegen das Fundierungsaxiom.

07.09.2018, 23:37

tatmas

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Wenn du Bücher so aufmerksam liest wie der Namen der Autoren, dann wundert man gar nichts mehr.
Der Autor ist kein ehemaliger Fußballspieler.

08.09.2018, 07:14

Elvis

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@Pippen
Als neues Buch kann man dieses Geschwafel aus dem Jahr 1971 wohl kaum bezeichnen. Was genau hast du da verstanden, was du bei Deiser nicht verstanden hast? Lies es bitte sehr aufmerksam durch, bearbeite alle Übungen und stelle erst wieder Fragen, wenn du es vollständig durchgearbeitet hast.

11.09.2018, 13:19

Pippen

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Wie würdet ihr beweisen, dass zwischen P(A) und 2^A eine Bijektion konstruiert werden kann? Meine Idee wäre per Induktion zu beweisen, dass P(A) und 2^A gleich viele Elemente beinhalten, weil dann eine Bijektion trivial würde. Diesen Beweis verstehe ich auch.

1. Frage: Aufgrund welches Axioms oder Satzes kann man so eine Induktion machen; wir sind ja hier nicht in den natürlichen Zahlen. Gibt es so eine Art allgemeines Induktionsaxiom?

2. Frage: Wie würdet ihr die Bijektion beweisen, ohne die Mächtigkeit der beiden Mengen zu vergleichen. (http://matematicas.uis.edu.co/adrialba/s...0C%20Pinter.pdf, dort S. 69, 2.35, aber diesen Beweis verstehe ich nicht so recht).

11.09.2018, 13:39

Elvis

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Mächtigkeit der Mengen vergleichen geht nur bei endlichen Mengen.
1. Es gibt transfinite Induktion, ob das hier zu etwas gut ist, weiß ich nicht.
2. $\begin{eqnarray*} |P(A)|=|2^A| \end{eqnarray*}$ , weil die Funktionen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ die Indikatorfunktionen der Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind. Indikatorfunktion für $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} I_B:A\to A, I_B(x)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in B, I_B(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \notin B \end{eqnarray*}$ .

11.09.2018, 16:47

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Es gibt transfinite Induktion

Wie legitimiert man die? Wenn ich in IN Induktionsbeweise mache, dann deshalb, weil mich das Induktionsaxiom dazu berechtigt. Wo ist das Axiom für transfinite Induktion? In ZFC?

11.09.2018, 17:07

zweiundvierzig

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Transfinite Induktion ist äquivalent zur Wohlfundiertheit von $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ auf jeder nichtleeren Klasse von Ordinalzahlen.

11.09.2018, 17:16

Pippen

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@42: Und worauf basiert Wohlfundiertheit? Irgendwo erwarte ich da für transfinite Induktion sowas wie Peano 5, nur eben für mehr als natürliche Zahlen.

Noch etwas sehr Banales, was mich trotzdem bereits herausfordert:
Aus den Mengen A = {{1,2}} und B = {{3,4}} kann man doch folgende Mengen bilden: {{1,2}, {3,4}} und {1,2,3,4}. Richtig? Durch Paarmengenaxiom bildet man {{1,2}, {3,4}} und {1,2,3,4} durch Vereinigungsaxiom. Richtig?

11.09.2018, 19:16

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
@42: Und worauf basiert Wohlfundiertheit? Irgendwo erwarte ich da für transfinite Induktion sowas wie Peano 5, nur eben für mehr als natürliche Zahlen.

Analog zu meiner obigen Aussage ist Induktion auf den natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ auf nichtleeren Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wohlfundiert ist (ein endliches Ordinal sind im wesentlichen dasselbe wie eine natürliche Zahl).

Zitat:

Original von Pippen
Noch etwas sehr Banales, was mich trotzdem bereits herausfordert:
Aus den Mengen A = {{1,2}} und B = {{3,4}} kann man doch folgende Mengen bilden: {{1,2}, {3,4}} und {1,2,3,4}. Richtig? Durch Paarmengenaxiom bildet man {{1,2}, {3,4}} und {1,2,3,4} durch Vereinigungsaxiom.

Zunächst liefert das Paarmengenaxiom für A und B die Existenz von {A,B}.

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