Maximierung unter Nebenbedingung

20.08.2018, 10:38

Sebastian29

Maximierung unter Nebenbedingung

Hallo,
es geht um die Maximierung der (gesamten) Wohlfahrt. Person 1 hat von Gut "a" den Nutzen "u(a)" wohingehen Person 2 den Nutzen "2u(1-a)".

$\begin{eqnarray*} W(a)=u(a)+2u(1-a) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung würde ich so aufstellen: $\begin{eqnarray*} a1+a2=1 \end{eqnarray*}$ ?

Lagrange-Formel: $\begin{eqnarray*} u(a1)+2u(a2)+\lambda(1-a1-a2) \end{eqnarray*}$
denn $\begin{eqnarray*} a2=1-a1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt auflöse komme ich darauf das Person 1 a=2/3 und Person 2 a=1/3 erhalten soll. Damit wäre die Aufteilung vielleicht gerecht, da beide den gleichen Nutzen erzielen. Aber das kann, mit Menschenverstand, ja nicht das gesamte Nutzenmaximum sein. Dies wäre ja erreicht wenn Person 2 einfach alles bekommt. Irgendwo muss ich einen Fehler in der Aufstellung des Maximierungsproblems haben, ich finde es aber leider nicht. Könnt ihr mir weiterhelfen?

20.08.2018, 11:23

Huggy

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RE: Maximierung unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Sebastian29
Wenn ich das jetzt auflöse komme ich darauf das Person 1 a=2/3 und Person 2 a=1/3 erhalten soll.

Wie kommst auf das Ergebnis? Dazu müsste doch die Funktion $\begin{eqnarray*} u(a) \end{eqnarray*}$ spezifiziert sein. Dazu hast du aber nichts gesagt.

Zitat:

Damit wäre die Aufteilung vielleicht gerecht, da beide den gleichen Nutzen erzielen. Aber das kann, mit Menschenverstand, ja nicht das gesamte Nutzenmaximum sein. Dies wäre ja erreicht wenn Person 2 einfach alles bekommt.

Wieso? Das hängt auch von der Funktion $\begin{eqnarray*} u(a) \end{eqnarray*}$ ab!

20.08.2018, 11:27

Sebastian29

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} u(a) \end{eqnarray*}$ wird nicht weiter spezifiziert in der Aufgabe.
Ableiten ergibt ja:
$\begin{eqnarray*} \lambda=u'(a1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda=2u'(a2) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a2=1-a1 \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} u'(a1)=2u'(1-a1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a1=2(1-a1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a1=2/3 \end{eqnarray*}$

20.08.2018, 11:38

MasterWizz

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Das Problem ist, dass du nicht einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ "weglassen" darfst beim umstellen, so ein Rechengesetz gibt es im Allgemeinen nicht.

Generell würde ich auch nicht mit Lagrange ran gehen, da du mit $\begin{eqnarray*} a_1=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2=1-a \end{eqnarray*}$ wieder beim Originalproblem bist. Gehen wir mal logisch an die Aufgabe ran. Deine Variable $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegt im Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Was du definitiv weißt (oder wissen solltest): Am Rand gibt es lokale Extrema! Das heißt für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ hast du bereits lokale Extrema. Und da über Nutzenfunktionen bekannt ist, dass sie monoton wachsend sind, ist deine Überlegung schon mal richtig: Das lokale Extremum in $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ liefert eine größere Wohlfahrt als das lokale Extremum in $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann es aber noch sein, dass du im Innere, also für $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ noch lokale Extrema hast. Dafür wie gewohnt: notwendige Bedingung! Erste Ableitung = 0.
$\begin{eqnarray*} W'(a)=U'(a) - 2U'(1-a) \overset{!}{=} 0\quad\Longrightarrow\quad U'(a)=2U'(1-a) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kommt es eben auf die Funktion an, wie Huggy schon meinte. Je nach Funktion können die lokalen Extrema im Inneren größere Funktionswerte für die Wohlfahrt liefern, als die am Rand.

Edit: Es muss auch nicht die Funktion selbst bekannt sein, einige nützliche grundlegende Angaben könnten schon reichen. Zum Beispiel ist ja über Nutzenfunktionen bekannt, ohne dass du es aufgeschrieben hast, dass sie monoton wachsend und konvex sind. Wäre jetzt z.B. noch bekannt, dass es eine exponentielle Nutzenfunktion wäre, könnte man sehr leicht nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ umstellen. Welche weiteren Infos sind denn noch allgemein bekannt?

20.08.2018, 11:43

Huggy

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Zitat:

Original von Sebastian29
$\begin{eqnarray*} u'(a1)=2u'(1-a1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a1=2(1-a1) \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist nicht korrekt. Du kannst nicht einfach $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten weglassen. Nach welcher Regel soll das gelten?

Mach dir mal ein paar Beispiele, z. B.

$\begin{eqnarray*} u(a)=ka,a^2,\sqrt a,a^{1/4} \end{eqnarray*}$

In der ersten beiden Fällen bekommt man ein Randmaximum. In den letzten beiden Fällen ist das Maximum im Inneren des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

20.08.2018, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Huggy
Dieser Schritt ist nicht korrekt. Du kannst nicht einfach $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten weglassen. Nach welcher Regel soll das gelten?

Außerdem würde mich mal interessieren, nach welcher Variable da abgeleitet wird. verwirrt

20.08.2018, 12:01

Sebastian29

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Weitere Angaben sind nur:
$\begin{eqnarray*} u'(.)>0>u''(.) \end{eqnarray*}$

Sowie eben: Person 2 bekommt für die gleiche Menge a doppelt soviel Nutzen wie Person 1, d.h. wenn Person 1 einen Anteil a erhält, dann erreicht Person 2 das Nutzenniveau 2u(1-a)

Und ich soll eben beweisen oder "zeigen", dass die Wohlfahrtsfunktion Person 2 mehr von "a" zuordnet als Person 1

20.08.2018, 12:15

MasterWizz

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Ok die zweite Ableitung ist negativ, das heißt die Nutzenfunktion ist konkav? verwirrt

Zitat:

Person 2 bekommt für die gleiche Menge a doppelt soviel Nutzen wie Person 1

Aus diesem Satz ist aber nur ersichtlich, dass Person 2 den doppelten Nutzen von Person 1 hat, wenn sie gleich viel a konsumieren, also beide a=1/2. z.B. für a=1/3 konsumiert die andere Person 1-a=2/3 Einheiten. Über das Nutzenverhältnis hierbei wurde nichts in der Aufgabenstellung gesagt. Darum zweifle ich hier noch die Vermutung $\begin{eqnarray*} W(a)=u(a)+2u(1-a) \end{eqnarray*}$ an. Oder habe ich das falsch verstanden?

20.08.2018, 12:46

Sebastian29

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W(a) ist so in der Aufgabenstellung gegeben.

20.08.2018, 15:26

Huggy

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Zitat:

Original von MasterWizz
Darum zweifle ich hier noch die Vermutung $\begin{eqnarray*} W(a)=u(a)+2u(1-a) \end{eqnarray*}$ an.

Das ist schon richtig. Nennen wir die Nutzenfunktionen der beiden Personen mal $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist gefordert $\begin{eqnarray*} u_2(a)=2u_1(a) \end{eqnarray*}$ . Wenn Person 1 $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bekommt und Person 2 $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bekommt, ist der Gesamtnutzen

$\begin{eqnarray*} W=u_1(a)+u_2(b)=u_1(a)+2u_1(b) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} b=1-a \end{eqnarray*}$ folgt daraus die vom Fragesteller genannte Beziehung.

@Sebastian29

Du hättest mal gleich die Originalfragestellung nennen sollen. Zunächst kann man feststellen:

$\begin{eqnarray*} W(0)=u(0)+2u(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W(1)=u(1)+2u(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W(0)-W(1)=u(1)-u(0)>0 \end{eqnarray*}$

Das >-Zeichen gilt wegen $\begin{eqnarray*} u'(a)>0 \end{eqnarray*}$ . Deshalb kann $\begin{eqnarray*} W(a) \end{eqnarray*}$ schon mal kein Randmaximum bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ haben. Bleibt also noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} W(a) \end{eqnarray*}$ kein lokales Maximum im Bereich $\begin{eqnarray*} a \in [1/2,1) \end{eqnarray*}$ haben kann. Dann darf $\begin{eqnarray*} W'(a) \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle in diesem Bereich haben. Nun ist

$\begin{eqnarray*} W'(a)=u'(a)-2u'(1-a) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} W'(\frac 1 2)=-u'(\frac 1 2)<0 \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} u'>0 \end{eqnarray*}$ . Und es ist

$\begin{eqnarray*} W''(a)=u''(a)+2u''(1-a)<0 \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} u''(a)<0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} W'(a) \end{eqnarray*}$ ist daher streng monoton fallend. Also

$\begin{eqnarray*} W'(a\geq \frac 1 2) < W'(\frac 1 2) <0. \end{eqnarray*}$

Beweis fertig.

21.08.2018, 06:53

Sebastian29

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Und an welcher Stelle wird jetzt bewiesen, dass Person 2 mehr von a bekommt als Person 1?

21.08.2018, 08:22

Huggy

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Das fragst du ernsthaft? unglücklich

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist der Anteil, den Person 1 bekommt. Ist $\begin{eqnarray*} a<1/2 \end{eqnarray*}$ , bekommt Person 2 mehr als Person 1. Es wurde gezeigt, dass das Maximum nicht im Bereich $\begin{eqnarray*} a \in [1/2,1] \end{eqnarray*}$ liegen kann. Also liegt das Maximum im Bereich $\begin{eqnarray*} a \in [0,1/2) \end{eqnarray*}$ . Also bekommt Person 2 mehr als Person 1.

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