Optimierung unter Nebenbedingung auf Mannigfaltigkeit

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Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung unter Nebenbedingung auf Mannigfaltigkeit
Angenommen ihr habt eine glatte Mannigfaltigkeit gegeben, z.B. eine Torusoberfläche. Auf dieser ist nun ein glattes Skalarfeld für definiert. Außerdem gibt es eine glatte Nebenbedingung .

Dann ist es doch sinnvoll, vom Begriff des lokalen Optimums zu sprechen, oder?

Auf der Mannigfaltigkeit muss aber nicht unbedingt eine Metrik definiert sein. Somit gibt es dann keinen Gradient. Daher lässt sich auch das Verfahren der lagrangeschen Multiplikatoren nicht anwenden.

Das ist doch eine paradoxe Situation, nicht wahr? Was macht ihr jetzt?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Anstelle von

schreibt man für die notwendige Bedingung besser

bzw.


Diese Umformung deutet an, dass dies auch auf einer Mannigfaltigkeit gültig bleibt. Die technischen Details hat in der Zwischenzeit jemand zur englischen Wikipedia hinzugefügt:

Modern formulation via differentiable manifolds
 
 
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