Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Meine Frage:
Guten Abend an alle.
Ich habe zwei Definitionen für die Variation des Flächeninhalts. Ich bin mir nicht sicher wieso diese äquivalent sind deswegen frage ich hier nach.

Die erste Definition stammt von einem Buch:


1. (Variation des Flächeninhalts): Sei S eine reguläre Fläche mit endlichem Flächeninhalt. Sei das mittlere Krümmungsfeld. Sei ein glattes Normalenfeld auf S mit Kompaktem Träger. Dann ist für |t| hinreichend klein die Menge eine reguläre Flöche mit endlichem Flächeninhalt und es gilt




So nun zu der 2. Definition(siehe Bild).




Meine Ideen:

Meine Idee ist:


Bei der 1 Definition ist der Integrand:




das f ist dann in der 2.Definition das o. Ist mein gedanke richtig?


Was mich verwirrt: Bei der 1.Definition ist der Integrand das Skalarprodukt aus phi und dem mittleren krümmungsfeld.

Bei der 2.Definition ist der Integrand phi* H also die mittlere Krümmung.

Warum sind die beiden Definition denn äquivalent zueinander?
Ich würde mich über eine aufklärung freuen.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Ich denke diese Frage ist für einige nicht so schwer zu beantworten. Ich kann den Grund nicht verstehen wieso man mir nicht antwortet. Mache ich etwas falsch? Fehlt etwas oder ist etwas ungenau? Dann bitte ich drum das ihr mich drauf hinweist. Stimmt denn wenigstens diese umformung


< phi, H_{welle}> = < f N , H N> = f H <N,N> = fh ?


Weil dann wäre ja schonmal der Integrand äquivalent. Diese Frage kann doch nicht so schwer sein oder verwirrt
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Ohne Kenntnis der verwendeten Notation und sonstiger Definitionen lässt sich diese Frage nun mal nur etwas spekulativ beantworten. ist hier ein Vektor. Bleibt die Frage, ob hier wirklich die mittlere Krümmung als Skalar ist oder doch als Vektor, wie in der anderen Definition. Wenn es als Vektor gemeint ist, ist das Produkt als Skalarprodukt gemeint und die Definitionen sind identisch. Wenn es aber als Skalar gemeint ist, dann muss das Integral zwangsläufig als vektorielles Oberflächenintegral gemeint sein, welches man auch schreiben würde als



Es ist und die Definitionen sind wieder identisch. Es zeigt sich hier mal wieder, wie nützlich manchmal die bei Mathematikern unbeliebte Pfeilschreibweise von Vektoren ist. Man sieht dann schon optisch, was ein Vektor und was ein Skalar sein soll.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Hallo Huggy und danke für die Antwort.

Wie kommst du drauf das gilt ?

Ich bin etwas anderer Meinung warum ? Das versuche ich hier zu erklären.

Zunächst einmal berechnet sich der Flächeninhalt von F durch das folgende Integral:

.
Wobei das Flächenelement ist und die einträge der 1.Fundamentalmatrixform.


Im buch haben wir nun eine Hinreichende kleine Menge |t| sodass eine reguläre Fläche mit endlichem Flächeninhalt ist.

In der Quelle von mir wird es ganz ähnlich definiert (siehe Anhang 1).

Der unterschied zwischen diesen beiden Mengen:

Die Definition der Menge in der Quelle ist genau die selbe wie im Buch nur das im Buch



=

phi nicht ausgeschrieben war ().

Und genau deswegen glaube ich auch das:

gelten muss. Das ist genau das selbe wie in der Quelle nur das f=o ist in der Quelle.

Ist mein gedanke nachvollziehbar?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Zitat:
Original von Mesut95
Wie kommst du drauf das gilt ?

Bei mir steht das auf der anderen Seite. Und das ist nun mal die Definition des vektoriellen Oberflächenintegrals, siehe z. B.

https://www.math.uni-hamburg.de/teaching...8/vorl13_a3.pdf

Seite 12 und 13, insbesondere Seite 13 ganz unten. Die Oberfläche ist in dieser Schreibweise



Die Definition der Obefläche über die in der Differentialgeometrie kann in die obige Form überführt werden.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
hast du dir das durchgelesen was ich geschrieben habe ?
Es ist offensichtlich das in der Quelle im Buch das f( ) ist.
Wir könnten auch setzen.


Die Definition in der Quelle:



irgendwie bin ich davon fest überzeugt das, das stimmt verwirrt


Übrigens die Quelle: Schreib dazu in google "Variation des Flächeninhalts Würzburg" der erste link ist die Quelle von der ich hier rede. Ab S.24
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Okay, der Normaleneinheitsvektor steckt in dem noch nicht drin, das hatte ich überlesen. Mit deiner Umformung hast du dann auch wieder Äquivalenz der Definitionen. Es kann doch gar keinen Unterschied geben. Für den Flächeninhalt gibt es keine echt unterschiedlichen Definitionen. Damit gibt es für die Ableitung des Flächeninhalts einer parametrisierten Flächenschar nach dem Parameter auch keine echt unterschiedlichen Definitionen.

Man muss sich hier dauernd durch Defintionen in unterschiedlichen Quellen hindurchdenken, was ich einfach nicht machen möchte, zumal ich die Quellen erst mal haben müsste. Es ist schade für dich, dass in diesem Forum offenbar niemand ist, der mit dieser Materie so vertraut ist, dass er zwischen scheinbar unterschiedlichen Definitionen leicht hin und her navigieren kann.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiedene Definitionen (warum Äquivalenz?)
Kein Problem Huggy. Ich kann das nachvollziehen. Ich finde es trotz allem sehr nett von dir, das du dir die mühe gemacht hast. Sehr lieb von dir ich bedanke mich bei dir Herzlich.

Prost
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