Treppe mit unendlich vielen Stufen - Grenzwert

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Jule12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Treppe mit unendlich vielen Stufen - Grenzwert
Hi,

ich beschäftige mich während der Sommerferien mit dem Stoff des nächsten Schuljahres und hab keinen Lehrer, den ich fragen könnte, also dachte ich, dass ich mich mal hier anmelde.

Es geht um eine Treppe, deren Stufen einen quadratischen Querschnitt haben.
Höhe und Breite der 1. Stufe sind jeweils 1. Jede weitere Stufe hat nur 3/4 der Höhe und Breite der vorherigen Stufe.
Die Aufgabe gibt außerdem eine Skizze vor, in der die Stufen oberhalb und entlang der x-Achse eingezeichnet sind. Die obere rechte Ecke der 1. Stufe ist im Punkt P (1 | 1). Die obere rechte Ecke der 2. Stufe ist dementsprechend im Punkt Q (1,75 | 0,75) usw.

Die Frage ist:
"Wie lang ist diese Treppe mit unendlich vielen Stufen?"

Als Hinweis gibt das Buch Folgendes:
"Verwenden Sie die Gerade, welche durch die oberen Ecken der Stufen gelegt werden kann".

Meine Ideen:

Ich habe die Geradengleichung bestimmt, diese ist
f(x) = - 1/3 x + 4/3 .
Daraufhin hab ich die Nullstelle berechnet, die bei x=4 liegt, weil ich dachte, dass das ja die Frage nach der Länge schon beantworten würde.
Aber das ergibt keinen Sinn, denn dann würde die Treppe ja doch enden. Außerdem ist die Aufgabe im "Grenzwert"-Kapitel des Buches und bisher habe ich nur eine Geradengleichung bestimmt.
Sagt man jetzt einfach, dass der Grenzwert 4 ist?
Wenn aber jede Stufe 3/4 der vorherigen beträgt, wird die Stufe ja niemals 0 lang oder hoch sein, also kann es doch eigentlich keine Nullstelle geben ... eigentlich müsste sich der Graph doch immer mehr der 0 annähren? Wenn der Grenzwert 4 wäre, würde das doch bedeuten, dass sich die y-Werte der 0 nur annähren, oder?
Offenbar hab ich den "Grenzwert" an sich noch nicht 100%ig verinnerlicht...

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Lieben Gruß und schönen Abend!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die erwähnte Gerade hat zwar den Schnittpunkt (4; 0) mit der x-Achse, aber deswegen befinden sich dennoch unendlich viele Quadrate zwischen ihr und der x-Achse.
Die Seitenlänge der Quadrate konvergiert gegen Null, aber deren Summe ist 4, also endlich, obwohl es unendlich viele Quadrate sind.
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Das Ganze ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 1 und dem Quotienten . Deren Reihensumme ist



[attach]47922[/attach]

Damit du diese "Unendlichkeit" besser verstehst.
Siehe dazu auch das Paradoxon des Xenon von Eleia: Achilles und die Schildkröte.

mY+
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