Herleitung: Dreiecke in einem 3-dim System

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wiekann Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung: Dreiecke in einem 3-dim System
Hallo,

diese Gleichung stört mich gerade. Ich verstehe nicht, wie kann die gelten ohne eine Näherung? Wie kann man G_rot finden mit Gleichheit? Ist die erste Gleichung falsch?
[attach]47920[/attach]

EDIT(Helferlein):externen Link entfernt, da nicht erwünscht. Sicherer und einfacher ist es, den Dateianhänge-Button zu nutzen.

Edit (mY+): Das Bild ist schlecht lesbar. Bitte auf eine bessere Qualität achten!
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die erstere Gleichung in deiner Skizze enthält in der Tat eine einfache geometrische Näherung, worauf ich hier nicht eingehen will. Zudem wird dort mit Differenzialen gerechnet, also usw. Das halte ich aus didaktischen Gründen für nicht gut. Ich gebe dir mal eine exakte Herleitung des Zusammenhanges zwischen dem Ortsvektor und dessen Bahngeschwindigkeit bei Drehungen:
----------------------------------------------------------------------------

Betrachte zur Zeit t=0 einen ruhenden Anfangsvektor . Wenn auf diesen die zeitabhängige Drehmatrix wirkt, ergibt sich zur Zeit t der gedrehte Vektor , also

______________Gleichung (1)

Umstellen von (1) nach liefert wegen die inverse Gleichung

______________Gleichung (2)

Differenzieren von (1) nach der Zeit liefert die momentane Bahngeschwindigkeit

______________Gleichung (3)

Darin substituieren wir den Anfangsvektor mit Gleichung (2) und erhalten

mit der Matrix ______________Gleichung (4)

Diese sehr wichtige Gleichung liefert uns den Zusammenhang zwischen dem momentanen Ortsvektor und dessen aktueller Bahngeschwindigkeit (zu jedem Zeitpunkt t). Beide Vektoren werden offenbar durch die Matrix auffeinander abgebildet. Diese Matrix ist antisymmetrisch, das heißt

______________Gleichung (5)

Zum Beweis der Antisymmetrie von betrachten wir die Definitionsgleichung der Drehung, also , worin E die Einheitsmatrix ist. Differenzieren nach der Zeit liefert



Damit ist die Antisymmetrie gemäß (5) bewiesen. Antisymmetrie bedeutet, dass man bei Spiegelung der Matrix an der Hauptiagonalen genau die negative Matrix erhält. Demnach hat die Matrix nur drei unabhängige Matrixelemente und lässt sich damit stets wie folgt darstellen

______________Gleichung (6)

Diese Matrix setzen wir in Gleichung (4) ein und erhalten ausführlich den Zusammenhang ziwschen dem Ortsvektor und dessen Bahngeschindigkeit

______________Gleichung (7)

Wie man sich leicht klar macht, kann man diese Gleichung mit einem Vektorprodukt ausdrücken und damit schreibtechnisch vereinfachen

______________Gleichung (8)

Den Vektor bezeichnet man in der Mechanik als momentane Winkelgeschwindigkeit. Wenn man diese Gleichung mit dem Differenzial dt multipliziert, ergibt sich die letzte Gleichung in deiner Skizze.
 
 
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