Gebrochene Exponentialfunktion

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Phil678 Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochene Exponentialfunktion
Meine Frage:
Hallo,

Wie löst man f(x) = 2^x / x² < 0,0001

Komme da nicht ganz mit, da dass eine x dann im Log steht.

Es geht darum, zu berechnen bei welchen x Werten der Abstand zur Asymptode kleiner 0,0001 ist.



Meine Ideen:
Habe leider keine.
G220818 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochene Exponentialfunktion
Das geht algebraisch nicht. Benutze ein Näherungsverfahren.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

so ungefähr für (-7.48118050038 )

Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebrochene Exponentialfunktion
Geht jawohl. Zu lösen ist die Gleichung:

mit . Daraus ergibt sich

Jetzt auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:

Nun noch aufhübschen:

Betrachte nun die Funktion , .
Die lässt sich doch an ihrem Minimum in zwei Teile auftrennen, streng monoton und stetig. Man verifiziere, ob das auch so stimmt! Die Umkehrfunktion nennen wir (die lambertsche W-Funktion). Den oberen Ast kann man mit bezeichnen, den unteren mit .

Damit ergibt sich nun

und weiter

Somit ist isoliert.

Das lässt sich noch präzisieren: Was sind hier die Äquivalenzumformungen und was nicht? Wenn keine Äquivalenzumformung gemacht wurde, kann sich die Lösungsmenge vergrößern. Wurde irgendwo durch null geteilt oder mit null multipliziert? Nachdem gezeigt wurde, dass die Teile von streng monoton und stetig sind, sollte auch noch explizit die Injektivität und über den Zwischenwertsatz die Surjektivität verifiziert werden. Die beiden Teile sind dann Bijektionen und man braucht nur noch zu überprüfen, ob auch im Definitionsbereich von liegt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mein TR hat keine W -Taste/ Befehl Augenzwinkern

Ist die W-Funktion wie sin tan cos e etc. als Reihe darstellbar oder ist das nur l'art pour l'art?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung der Funktion ist stets größer 0, daher ist die Funktion umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion nenne ich Leopoldsche Funktion von desipientem Charakter und bezeichne Sie mit . Diese bildet das Intervall streng monoton wachsend auf das Intervall ab.

Für kann man rechnen:





Tanzen Aufgabe schneller und unendlich viel eleganter gelöst als Finn_! Tanzen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Ist die W-Funktion wie sin tan cos e etc. als Reihe darstellbar oder ist das nur l'art pour l'art?

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

Die Potenzreihe findest du am Ende des Abschnitts Eigenschaften.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist eine schnelle Implementation von und , die ich aus meinem JavaScript-Plotter kurz nach Python portiert habe:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
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17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
import math
from math import exp, log, sqrt
nan = float("nan")

def W0(x):
    if x >= 74:
        y = log(x/log(x/log(x/log(x/log(x)))))
    elif x >= 1.14:
        y = x/(x+1)**0.73
    elif x >= -0.3455:
        y = x/exp(x/exp(x/exp(x/exp(x/exp(x)))))
    elif x >= -1/math.e:
        y = sqrt(2*(math.e*x+1))-1
    else:
        return nan
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    return y

def Wm1(x):
    if x < -1/math.e:
        return nan
    elif x < -0.33469524:
        y = -sqrt(math.e*x+1)-1
    elif x < 0:
        y = log(x/log(x/log(x/log(x/log(-x)))))
    else:
        return nan
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    y = y-(y-x*exp(-y))/(y+1)
    return y

Sollte fast überall eine Genauigkeit von erreichen. Eine Anfangsnäherung ergibt sich über Iterationen gemäß Fixpunktgleichungen oder künstlicher Approximation des Graphen. Dann zieht der Algorithmus noch vier mal mit dem Newton-Verfahren nach.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sehr gepflegt.

ich gebe in den TR im RPN Modus ein und fertig. smile
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Faszinierend. Aber gibt man in meinem Plotter
f(x):=2^x/x^2-0.0001,f(x)
ein, dann wird die Nullstelle automatisch über
zeroes(f)
gefunden.
[attach]47928[/attach]
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