Komplexe Mengen zeichnen/skizzieren

24.08.2018, 23:33

thelox10

Komplexe Mengen zeichnen/skizzieren

Hi

ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen.
Was ich weiß ist das man die Ungleichungen lösen muss, indem man die entsprechenden Fälle berechnet.
Jedoch hakt es da bei mir schon, da ich nicht ganz verstehe, wie man das angeht.

25.08.2018, 09:48

Finn_

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RE: Komplexe Mengen zeichnen/skizzieren
Um den Rand der Menge zu erhalten, bzw. um zu wissen wo die Menge denn aufhört, kannst du als Faustregel die Ungleichungsrelation durch ein Gleichheitszeichen ersetzen. In normalen Fällen ist das auch mathematisch korrekt.

Ein komplexe Gleichung lässt auf eine Gleichung in x,y zurückführen, wenn man x=Re(z) und y=Im(z) annimmt.

Zur ersten Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{Re}(z-2+3i) = \mathrm{Re}(z)-\mathrm{Re}(2)+\mathrm{Re}(3i) = x-2+0. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(z-2+3i) = \mathrm{Im}(z)-\mathrm{Im}(2)+\mathrm{Im}(3i) = y-0+3. \end{eqnarray*}$
Nun gilt ja:
$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2+\mathrm{Im}(z)^2}. \end{eqnarray*}$
Also ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} = 3 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} (x-2)^2+(y+3)^2 = 3^2. \end{eqnarray*}$
Das ist ein verschobener Kreis:
$\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2. \end{eqnarray*}$
Hier verschiebt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nach rechts und $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ nach oben.

In diesem Fall ergibt sich eine Verschiebung von 2 nach rechts und 3 nach unten. Der Kreis besitzt den Radius 3.

Jetzt kannst du das Spiel umdrehen und dir überlegen wie sich allgemein ein verschobener Kreis mit Radius r als komplexe Gleichung ausdrücken lässt bzw. die Kreisscheibe als Ungleichung.

25.08.2018, 10:44

Leopold

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Der Weg übers Reelle erscheint mir hier doch allzu zwanghaft. Der Ausdruck $\begin{align*} \left| a - b \right| \end{align*}$ gibt den Abstand der beiden komplexen Zahlen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ an. Die Ungleichung $\begin{align*} \left| z - \left( 2 - 3 \operatorname{i} \right) \right| \leq 3 \end{align*}$ kann daher folgendermaßen in eine Frage gefaßt werden: Wo liegen alle $\begin{align*} z \end{align*}$ , deren Abstand von $\begin{align*} m = 2 - 3 \operatorname{i} \end{align*}$ höchstens 3 ist? Und das ist offenbar eine Kreisfläche mit Rand vom Radius 3 mit Mittelpunkt $\begin{align*} m \end{align*}$ .
Ähnlich kann man auch (4) lösen, wenn man die Ungleichung mit $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ multipliziert und den positiven (!) Faktor in den Betrag hineinzieht.

25.08.2018, 21:26

thelox10

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Zu Finn:

Wenn ich das richtig verstanden habe kann man bei der ersten Ungleichung den Radius direkt ablesen?
Liege ich richtig der Annahme, dass man das z quasi rausziehen muss aus der Gleichung, sodass sich die Vorzeichen ändern?

Zu Leopold:

Ich verstehe nicht ganz, wieso ich die (4) mit 1/3 multiplizieren soll, dient das nur zur Vereinfachung?

25.08.2018, 22:22

Finn_

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Zitat:

Wenn ich das richtig verstanden habe kann man bei der ersten Ungleichung den Radius direkt ablesen?

Ja.

Zitat:

Liege ich richtig der Annahme, dass man das z quasi rausziehen muss aus der Gleichung, sodass sich die Vorzeichen ändern?

Versteh ich nicht.

Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$
beschreibt doch einen Einheitskreis. Allgemeiner beschreibt
$\begin{eqnarray*} |z|=r \end{eqnarray*}$
einen Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Der um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ verschobene Kreis ist gegeben durch
$\begin{eqnarray*} |z-z_0|=r. \end{eqnarray*}$
Also so wie $\begin{eqnarray*} f(x-x_0) \end{eqnarray*}$ die zu $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ verschobene Funktion ist. Bei komplexen Zahlen ist es aber nun so, dass man in jede Richtung in der komplexen Ebene verschieben kann. D.h. $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ lässt sich als Verschiebungsvektor auffassen. Die komplexe Ebene besitzt tatsächlich auch die Struktur eines Vektorraums, des reellen zweidimensionalen Koordinatenraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Die Zahl $\begin{eqnarray*} z_0=a+bi \end{eqnarray*}$ verschiebt um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach rechts und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nach oben, halt so wie ein Verschiebungsvektor $\begin{eqnarray*} a\mathbf e_1+b\mathbf e_2 \end{eqnarray*}$ .

26.08.2018, 08:30

Leopold

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$\begin{align*} \left| 3z - 1 \right| \leq 6 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{3} \cdot \left| 3z - 1 \right| \leq \frac{1}{3} \cdot 6 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \, z - \frac{1}{3} \, \right| \leq 2 \end{align*}$

Wie gesagt: positive Faktoren kann man in den Betrag hineinziehen. Und jetzt kann man alles ablesen (siehe die Erklärung in meinem vorigen Beitrag).

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