Integral einer Klasse von Funktionen

27.08.2018, 17:33	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer Klasse von Funktionen für eine Klasse von Funktionen gelte: $\begin{eqnarray} \quad f(x+\frac{\pi}{6})+f(-x +\frac{\pi}{3} )=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ zum Beispiel gilt das für $\begin{eqnarray} ~~f(x):=x^3-\frac{3\pi}{4}x^2+x+\frac{\pi^3}{32} ~, x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ welchen konstanten Wert hat dann $\begin{eqnarray} I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} ~(\cos(\,f(x)))^2\,\dd x \end{eqnarray}$ ? edit: das sollte in Hochschulforum ?!
27.08.2018, 18:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersetzt man $\begin{align} x \end{align}$ durch $\begin{align} x + \frac{\pi}{12} \end{align}$ , erhält man die Funktionalgleichung $\begin{align} f \left( \frac{\pi}{4} + x \right) + f \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{\pi}{2} \end{align}$ die die Punktsymmetrie des Graphen bezüglich $\begin{align} \left( \frac{\pi}{4} \, , \frac{\pi}{4} \right) \end{align}$ zum Ausdruck bringt. Damit ist die Funktion $\begin{align} g \end{align}$ mit $\begin{align} g(x) = f \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} \end{align}$ eine ungerade Funktion. Man substituiert im Integral $\begin{align} x = t + \frac{\pi}{4} \end{align}$ und rechnet: $\begin{align} I \ = \ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \left( f(x) \right) ~ \dd x \ = \ \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \left( f \left( t + \frac{\pi}{4} \right) \right) ~ \dd t \ = \ \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + g(t) \right) ~ \dd t \end{align}$ Nach Anwendung des Cosinus-Additionstheorems wird quadriert. Mit dem trigonometrischen Pythagoras und der Sinus-Formel für das doppelte Argument kann man weiter umformen: $\begin{align} = \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \left( 1 - \sin \left( 2g(t) \right) \right) ~ \dd t \ = \ \frac{1}{2} \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \dd t \ - \ \frac{1}{2} \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \underbrace{\sin \left( 2g(t) \right)}_{\text{ungerade Funktion}} ~ \dd t \ = \ \frac{\pi}{4} \end{align}$
27.08.2018, 19:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man gut nachvollziehen, die richtigen Ideen braucht man aber schon. Das macht eben den Unterschied zwischen Differenzieren und Integrieren.

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