Umformung sin(1/2*arctan(x))

27.08.2018, 22:41	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
*Umformung sin(1/2arctan(x))** Hey Leute, wie im Titel schon steht, würde mich sehr interessieren, wie es möglich ist den Term $\begin{eqnarray} \sin(\frac12\arctan(x)) \end{eqnarray}$ besser zusammenzufassen. Wolfram Alpha gibt mir das Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{x}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+1}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+1}} \end{eqnarray}$ Wie würdet ihr an die Umformung ran gehen? Bekannt ist mir bereits die Umformung und der Beweis für $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}} \end{eqnarray}$ , aber die 1/2 macht mich verrückt... Edit: Mit Hilfe des halben Winkels $\begin{eqnarray} \sin(\frac12 x)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} \end{eqnarray}$ geht es einen Schritt weiter. Damit bekomme ich zumindest schon einmal alle trigonometrischen Funktionen weg. $\begin{eqnarray} \sin(\frac12\arctan(x))=\sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{2\sqrt{1+x^2}}} \end{eqnarray}$ Vielleicht ist es nur zu spät, aber ich kriegs nicht weiter hin. Habt ihr eine Idee?
28.08.2018, 06:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Umformung stimmt fast. Man muß eine Fallunterscheidung treffen. Für positive $\begin{align} x \end{align}$ bekommt die äußere Wurzel das positive Vorzeichen, für negative das negative. Ansonsten könnte man den Bruch noch ausdividieren, damit $\begin{align} x \end{align}$ nur einmal in der Formel auftritt. Eine weitere Vereinfachung erscheint mir nicht möglich. Der Zusammenhang mit der Wolfram-Alpha-Formel geht über die dritte binomische Formel: $\begin{align} \left( \sqrt{x^2 + 1} - 1 \right) \cdot \left( \sqrt{x^2 + 1} + 1 \right) \end{align}$
28.08.2018, 13:28	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Super ich danke dir für deine Zeit, ich habs perfekt verstanden!

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