Integral mithilfe des Residuenkalküls

28.08.2018, 11:53	Kofuianer	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mithilfe des Residuenkalküls Hallo, ich habe Probleme dieses Integral auszurechnen: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}+13x^{\frac{3}{2}}+36x^{\frac{1}{2}}} dx \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}\cdot (x+4)(x+9)} dx \end{eqnarray}$ Residuen ausgerechnet: Res(fx,-4)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{2i5} \end{eqnarray}$ Res(fx,-9)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{-3i5} \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} 2\pi i (\frac{1}{2i5}+\frac{1}{-3i5})=\frac{1\pi}{15} \end{eqnarray}$ Das Ergebniss ist aber: $\begin{eqnarray} \frac{2\pi i}{1-e^{-2 \pi \frac{i}{2}}} (\frac{1}{2i5}+\frac{1}{-3i5})=\frac{\pi}{30} \end{eqnarray}$ Wie komme ich auf den neuen Nenner ? Vielen Dank
28.08.2018, 11:56	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mithilfe des Residuenkalküls Indem Du den Wert von $\begin{eqnarray} e^{-2 \pi \frac{i}{2}}=\dots \end{eqnarray}$ bestimmst. Viele Grüße Steffen
28.08.2018, 12:37	Kofuianer	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber entweder verstehe ich deine Antwort nicht genau, oder du hast meine Frage missverstanden. Ich habe das raus: $\begin{eqnarray} 2\pi i (\frac{1}{2i5}+\frac{1}{-3i5})=\frac{1\pi}{15} \end{eqnarray}$ , das Ergebniss ist aber: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2\pi i}{1-e^{-2 \pi \frac{i}{2}}} (\frac{1}{2i5}+\frac{1}{-3i5})=\frac{\pi}{30} \end{eqnarray}$ . Nun fehlt mir in meinem Ergebniss das $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-e^{-2 \pi \frac{i}{2}}} \end{eqnarray}$ Bei dem ich nicht weiß, wie sie darauf gekommen sind.
28.08.2018, 12:39	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie "sie" draufgekommen sind, weiß ich auch nicht, aber die Ergebnisse sind dieselben, wie Du schnell sehen wirst, wenn Du meinen Rat befolgst. EDIT: ah, jetzt verstehe ich, dass Dich der Faktor 2 irritiert. Ich schau mir das gleich mal an... EDIT2: es liegt an dem reellen Pol für x=0. Dadurch kann der Residuensatz nicht ohne weiteres angewandt werden. Ein gutes Beispiel findet sich z.B. hier.
28.08.2018, 14:05	Kofuianer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, dass muss ich mir zu Hause mal mit einem größeren Bildschirm zu Gemüt führen
28.08.2018, 21:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Satz besitzt Voraussetzungen. Es ist mir völlig rätselhaft, wie du zu deiner Rechnung kommst. Mit was für einem $\begin{align} f(z) \end{align}$ rechnest du? Und wie wendest du den Residuensatz an? Über welche geschlossene Kurve integrierst du eigentlich? Wo sind die Singularitäten, die ja im Innern dieser Kurve liegen müssen, und deren Residuen? Welchen Grenzübergang führst du durch? Das sind alles offene Fragen. Es gibt eine Anwendung des Residuensatzes für rationale (!!!) Funktionen, die auf der reellen Achse keine Singularitäten besitzen. Man kann dann unter geeigneten Konvergenzvoraussetzungen das Integral über die reelle Achse berechnen, indem man den Residuensatz für eine geschickt gewählte Kurve anwendet, die man ins Unendliche zieht. Vielleicht meinst du ja diese Anwendung des Residuensatzes (und nicht den Residuensatz selbst). Siehe zum Beispiel hier, Satz 12.4 (Seite 73). Diesen Satz kannst du auf dein Problem aber nicht unmittelbar anwenden, einfach weil du keine rationale Funktion im Integranden hast. Rein im Reellen kannst du aber die Substitution $\begin{align} x = t^2 \end{align}$ durchführen. Vorbehaltlich Konvergenz erhältst du dann: $\begin{align} \int_0^{\infty} \frac{\dd x}{x^{\frac{5}{2}} + 13x^{\frac{3}{2}} + 36x^{\frac{1}{2}}} \ = \ 2 \int_0^{\infty} \frac{\dd t}{t^4 + 13t^2 + 36} \end{align}$ (bitte nachrechnen!) Und auf das letzte Integral kannst du den oben verlinkten Satz anwenden. Na ja, fast. Das Integrationsintervall paßt nicht. Wegen der Geradheit des Integranden läßt sich dies aber schnell hinbiegen. Möglicherweise nimmt die Musterlösung Bezug auf einen anderen Satz, der wiederum eine Anwendung des Residuensatzes ist. Dafür spricht der merkwürdige Vorfaktor in der Lösung. Aber auch dann mußt du die Voraussetzungen dieses Satzes und die zugehörige Formel genau anschauen.
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29.08.2018, 11:18	Kofuianer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ich merke gerade ich bin komplett falsch an das Thema herangegangen. Jetzt wird einiges klarer

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