Vertauschen der Integrationsgrenzen

28.08.2018, 13:52

spje21

Vertauschen der Integrationsgrenzen

Meine Frage:
Hallo, ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Ändern Sie die Integrationsreihenfolge für das folgende Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{1-(x-1)^2)}}^{0} f(x,y) \mathrm{dy}\mathrm{dx} \end{eqnarray*}$

Fertigen Sie außerdem eine Skizze des Integrationsbereiches an.

Meine Ideen:
Wie fängt man bei sowas an?

Als mir würde zwar der Satz von Fubini in den Kopf kommen, aber da hab ich jetzt auch noch nichts gefunden, dass mir weiter hilft.

28.08.2018, 14:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

was nun, Integrationsreihenfolge oder Integrationsgrenzen ?

28.08.2018, 15:15

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap

Oben steht doch klar, man soll die Integrationsreihenfolge ändern. Wenn man das macht, ändern sich fast immer auch die Grenzen.

28.08.2018, 15:28

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vertauschen der Integrationsgrenzen

Zitat:

Original von spje21
Als mir würde zwar der Satz von Fubini in den Kopf kommen, aber da hab ich jetzt auch noch nichts gefunden, dass mir weiter hilft.

Damit man die Integrationsreihenfolge ändern kann, sollte der Satz von Fubini anwendbar sein. Man sollte also hier einfach annehmen, dass der Integrand $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ den Satz erfüllt.

Am besten skizziert man zuerst den Integrationsbereich. Ich habe das mal gemacht. Für die gegebene Integrationsreihenfolge ist links der Integrationsbereich von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ blau eingezeichnet. Für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in diesem Bereich ist der Bereich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gemäß der grünen Linie zu wählen. In dem rechten Bild ist die Integrationsreihenfolge vertauscht, blau aber wieder zuerst und dann grün.

[attach]47937[/attach]

Kannst du jetzt die Grenzen für die geänderte Reihenfolge angeben?

28.08.2018, 15:57

spje21

Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy Danke erstmal für deine Antwort!

Das bedeutet, wenn ich die Integrationsreihenfolge von (jetzt allgemein):

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y)\mathrm{dy}\mathrm{dx} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a\leq x\leq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_1(x)\leq y\leq \phi_2(x) \end{eqnarray*}$

vertauschen will, so dass dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{d}\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\mathrm{dx}\mathrm{dy} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\leq y\leq d \end{eqnarray*}$

bleibt die Gestalt des Ganzen gleich und es ändert sich nur der Durchlauf?

Dann würde ich nämlich in meinem Beispiel beim Tauschen der Integrationsreihenfolge schließen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0}\int_{0}^{1+\sqrt{1-y^2}} f(x,y)\mathrm{dx}\mathrm{dy} \end{eqnarray*}$

Haut das so hin?

28.08.2018, 16:10

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von spje21
bleibt die Gestalt des Ganzen gleich und es ändert sich nur der Durchlauf?

Ja!
Es gibt ein festes Integrationsgebiet. Man rastert das nur einmal waagrecht ab (äußere Integration) und für jeden waggrechten Wert dann senkrecht oder eben umgekehrt.

Zitat:

Dann würde ich nämlich in meinem Beispiel beim Tauschen der Integrationsreihenfolge schließen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0}\int_{0}^{1+\sqrt{1-y^2}} f(x,y)\mathrm{dx}\mathrm{dy} \end{eqnarray*}$

Haut das so hin?

Nur fast. Bei der Änderung der Reihenfolge fängt der Bereich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ an, wie du meinem rechten Bild entnehmen kannst. Dene obere Grenze für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stimmt.

28.08.2018, 16:15

spje21

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bereich für x müsste nach dem rechten Bild dann bei -1 anfangen, oder?

28.08.2018, 16:28

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
@Dopap

Oben steht doch klar, man soll die Integrationsreihenfolge ändern. Wenn man das macht, ändern sich fast immer auch die Grenzen.

@Huggy: ich lese etwas von Vertauschung im Betreff nicht nur Veränderung. verwirrt

28.08.2018, 18:36

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von spje21
Der Bereich für x müsste nach dem rechten Bild dann bei -1 anfangen, oder?

Nein, der Bereich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fängt bei $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt {1-y^2} \end{eqnarray*}$ an. Schau dir noch mal die grüne Linie an, die ich für $\begin{eqnarray*} y=-0.5 \end{eqnarray*}$ eingetragen hatte.

Neue Frage »

Antworten »

Vertauschen der Integrationsgrenzen

Verwandte Themen