Komplexe Zahlen

29.08.2018, 03:45

Faruk106

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z ? C mit z quer = z2

Kann mir einer die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben erklären danke voraus

Mein Ansatz:

X-yi=(x+yi)2

X-yi=X2+2xyi-y2

Meine Ideen:
Steht oben

29.08.2018, 05:17

005

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RE: Komplexe Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie in Real- und Imaginaerteil uebereinstimmen. Aus Deiner letzten hingeschriebenen Gleichung ergeben sich damit zwei Gleichungen fuer die beiden gesuchten reellen Groessen x und y.

29.08.2018, 08:15

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Faruk106
Mein Ansatz:

X-yi=(x+yi)2

X-yi=X2+2xyi-y2

Ich weiß ja nicht, welches Eingabegerät du verwendest, es wäre aber schön, wenn man das Quadratzeichen auch als solches erkennt:

x-yi = (x+yi)²

x-yi = x² + 2xyi - y²

29.08.2018, 09:11

Leopold

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Eine geometrische Deutung.

Trivialerweise ist $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ eine Lösung.

Geht man in der Gleichung zum Betrag über, erhält man $\begin{align*} |z| = |z|^2 \end{align*}$ , was für nichttriviale Lösungen $\begin{align*} |z|=1 \end{align*}$ zur Folge hat. Diese Lösungen müssen also auf dem Einheitskreis liegen. Die Abbildung $\begin{align*} z \mapsto \overline{z} \end{align*}$ ist eine Spiegelung an der reellen Achse. Für Zahlen auf dem Einheitskreis bedeutet $\begin{align*} z \mapsto z^2 \end{align*}$ die Verdopplung des Arguments. Man könnte die Aufgabe $\begin{align*} \overline{z} = z^2 \end{align*}$ daher auch so formulieren:

Welche Zahlen $\begin{align*} z \end{align*}$ des Einheitskreises werden durch Verdoppeln des Arguments gerade an der reellen Achse gespiegelt?

$\begin{align*} z=1 \end{align*}$ erfüllt dies, denn das Argument ist 0 und bleibt beim Verdoppeln 0. Und für die Spiegelung ist $\begin{align*} z=1 \end{align*}$ ein Fixpunkt.
Zahlen des I. beziehungsweise IV. Quadranten kommen dafür nicht in Frage, denn beim Verdoppeln des Arguments befinden wir uns im I./II. beziehungsweise III./IV. Quadranten, wechseln also nicht die Seite.
Ist $\begin{align*} \alpha \in \left( - 180^{\circ} , 180^{\circ} \right] \end{align*}$ das Argument von $\begin{align*} z \end{align*}$ , so bedeutet eine Spiegelung an der reellen Achse: $\begin{align*} \alpha \mapsto - \alpha \end{align*}$ . Und die Verdopplung des Arguments: $\begin{align*} \alpha \mapsto 2 \alpha \pmod {360^{\circ}} \end{align*}$ . Daraus ergibt sich:

$\begin{align*} 2 \alpha \equiv - \alpha \pmod {360^{\circ}} \end{align*}$

$\begin{align*} 3 \alpha \equiv 0 \pmod {360^{\circ}} \end{align*}$

Man kann das Ganze auch rein rechnerisch durchziehen. Aus $\begin{align*} \overline{z} = z^2 \end{align*}$ erhält man durch Konjugieren $\begin{align*} z = \overline{z}^2 \end{align*}$ . Setzt man das erste in das zweite ein, folgt $\begin{align*} z = z^4 \end{align*}$ und nach Division durch $\begin{align*} z \end{align*}$ für nichttriviale Lösungen $\begin{align*} z^3 = 1 \end{align*}$ .

So oder so kommt man zu den dritten Einheitswurzeln ...

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