Konvergenz der Geometrischen Reihe

29.08.2018, 14:30

nurzubesuch

Konvergenz der Geometrischen Reihe

Hallo, ich habe ein problem bei der Konvergenz der Geometrischen reihe.
Um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2+3z} \end{eqnarray*}$
Bei dieser Funktion soll ich die Konvergenz um den Punkt 1 bestimmen.
Woher weiß ich jetzt, was ich rausziehen muss, damit ich die Konvergenz im Punkt 1 bestimme?

Ich mache es bis jetzt immer so, ich bringe es auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ , indem ich jeweils einen Zähler Term zu null bringe.
1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3z} \frac{1}{1+\frac{z^3}{3}} \end{eqnarray*}$ Hier weiß ich $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{3}<1 \rightarrow z<\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , Super zufällig den Bereich erwischt in dem 1 liegt.
Jetzt würde ich hier weitermachen.

Wenn ich jetzt nicht durch zufall treffe hätte ich den andern noch ausprobiert in dem ich den andern Zählerfaktor rausziehe:
2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^3} \frac{1}{1+\frac{3z}{z^3}} \end{eqnarray*}$ Hier schaue ich jetzt, ob er auch drin liegt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{z^2}<1 \rightarrow \sqrt{3}<z \end{eqnarray*}$
Dies ist nicht der Fall also nur mit dem oberen weitermachen.

Ich stelle mir die Konvergenzgebiete in dem Fall als Kreise um den Punkt 0 vor. Habe ich hier in dem Fall nicht nur 2 Stück also innen und außen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Wie sehe ich dass bevor ich es ausrechne. Bzw. wie kann ich sicher mit dem richtigen Fall starten ohne zu raten?
Danke

29.08.2018, 17:20

Leopold

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RE: Konvergenz der Geometrischen Reihe

Zitat:

Original von nurzubesuch
Bei dieser Funktion soll ich die Konvergenz um den Punkt 1 bestimmen.

Wovon sollst du die "Konvergenz um den Punkt 1 bestimmen"? Oder sollst du vielleicht eher die gegebene Funktion um den Punkt 1 in eine Potenzreihe entwickeln?

Die Aufgabenstellung ist völlig unklar.

30.08.2018, 08:52

klarsoweit

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RE: Konvergenz der Geometrischen Reihe
Auch andere Formulierungen sind eher nebulös. Z.B.:

Zitat:

Original von nurzubesuch
indem ich jeweils einen Zähler Term zu null bringe.

Zitat:

Original von nurzubesuch
1. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3z} \frac{1}{1+\frac{z^3}{3}} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt aber nicht identisch mit der Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2+3z} \end{eqnarray*}$ (wobei da eigentlich nur Terme hingeknallt wurden).

Vielleicht bekommen wir mehr Licht in die Sache, wenn du mal den kompletten originalen Aufgabentext postest.

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