Residuum, Kurvenintegral, Singularität

01.09.2018, 23:30	Nevenka2	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum, Kurvenintegral, Singularität Hab mal wieder ein Verbrechen an der Mathematik begangen. Ich hoffe es ist nicht zu schmerzhaft. Wollte mal wieder wissen, ob ich richtig gerechnet habe: Aufgabe: Berechnen Sie die Lage der Singularitäten und berechnen Sie die Residuen von $\begin{eqnarray} f_1, f_2, f_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_1(z) = \frac{\cos(z)}{1+z^2} = \frac{\cos(z)}{(z+i)(z-i)} \end{eqnarray}$ Singularität bei: $\begin{eqnarray} z=\pm i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Res(f_1, i) = \lim\limits_{z \rightarrow i}{f_1 \cdot (z-i)} = \lim\limits_{z \rightarrow i}{\frac{\cos(z)}{z+i}} = \frac{\cos(i)}{2i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2(z) = \frac{e^{z(1-z)}-1}{\sin(\pi z)} + \frac{1}{z} = \frac{z(e^{z-z^2}-1)+\sin(\pi z)}{z\sin(\pi z)} \end{eqnarray}$ Singularität bei: $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Res(f_2, 0) = \lim\limits_{z \rightarrow 0}{f_1 \cdot (z-0)} = \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{ze^{z-z^2}-z+\sin(\pi z)}{\sin(\pi z)} \end{eqnarray}$ Nach der Regel von de L’Hôpital: $\begin{eqnarray} Res(f_2, 0) = \lim\limits_{z \rightarrow 0} \frac{z(1-2z)e^{z-z^2}+e^{z-z^2}-1+\pi\cos(\pi z)}{\pi\cos(\pi z)} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{0+1-1+\pi}{\pi} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3(z) = \frac{1}{(1+z)^2+1} = \frac{1}{z^2+2z+2} \end{eqnarray}$ Singularität bei: $\begin{eqnarray} z= -1 \pm i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Res(f_3, -1 \pm i) = \lim\limits_{z \rightarrow {-1 + i}}{f_3 \cdot (z+1-i)} = \lim\limits_{z \rightarrow {-1 + i}}{\frac{1}{z+1+i}} = \frac{1}{2i} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie folgendes Kurvenintegral: $\begin{eqnarray} \int_{\|z-i-1\| = \frac{7}{5}} f_2 dz = 2\pi i \cdot Res(f_2) = 2\pi i \end{eqnarray}$ Berechnen Sie das uneigentliche Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} f_3(x) dx = 2\pi i \cdot Res(f_3, -1 \pm i) = \frac{2\pi i}{2i} = \pi \end{eqnarray}$
06.09.2018, 15:58	philip122	Auf diesen Beitrag antworten »
Die a) stimmt Bei b) und c) kannst du die Formel $\begin{eqnarray} \operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}f(z-z_{0}) \end{eqnarray}$ nicht verwenden, da es sich nicht um Singularitäten der Ordnung 1 handelt.

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