f nilpotenter Endomorphismus, dim V=1 => f=0

03.09.2018, 12:17	gast3133	Auf diesen Beitrag antworten »
f nilpotenter Endomorphismus, dim V=1 => f=0 Wie kann man das beweisen?
03.09.2018, 12:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man nehme an, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ verschieden ist. Was macht $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dann mit einem Basisvektor $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ? Was macht dann $\begin{eqnarray} f^n \end{eqnarray}$ mit diesem Basisvektor ?
03.09.2018, 13:06	gast3133	Auf diesen Beitrag antworten »
f(b) ist ungleich 0, f^n(b)=0. Also muss f=0 gelten und somit ein Widerspruch zur Annahme würde ich sagen
03.09.2018, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht ausreichend. Besser so: Annahme $\begin{eqnarray} f\ne 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nilpotent . Dann ist $\begin{eqnarray} f(b)\ne 0\Rightarrow f(b)=\alpha\cdot b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \ne 0 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} f^n(b)=(f(b))^n=\alpha^n\cdot b\ne 0\Rightarrow f^n\ne 0\Rightarrow f \end{eqnarray}$ ist nicht nilpotent. Widerspruch zur Annahme ! Wenn du es ganz schön machen möchtest, darfst du begründen, warum ein Basisvektor $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(b)\ne 0 \end{eqnarray}$ existiert und warum $\begin{eqnarray} \alpha^n\ne 0 \end{eqnarray}$ ist. Mir ist das klar, dir auch ? Ausserdem musst du noch etwas genauer ausführen, woher das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kommt. Ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ oder alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ? Und wieso ist dann $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht nilpotent ? Wo und wie geht hier die Dimensionsvoraussetzung ein ?? Gilt der Satz auch noch für dim V=2, oder nicht ??? Fragen über Fragen ... mach dir die Antworten nicht zu leicht.

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