Wachstum zweier Funktionen

03.09.2018, 22:42

Juli2018

Wachstum zweier Funktionen

Meine Frage:
Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} 2^{\sqrt{n}}=a(n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^{\log_{10}(n)}=b(n) \end{eqnarray*}$
Warum ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n->\infty} a(n)/b(n) = \infty \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a(n) kann man ja als k^n verallgemeinern und b(n) als n^n. In solch einer Schreibweise wäre b(n) immer größer.

Gibt es einen mathematischen Kniff, den ich nicht kenne?

04.09.2018, 08:31

klarsoweit

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RE: Frage zum Wachstum zweier Funktionen

Zitat:

Original von Juli2018
a(n) kann man ja als k^n verallgemeinern

Mit welchem k bitte?

Zitat:

Original von Juli2018
und b(n) als n^n.

Dann ist also $\begin{eqnarray*} log_{10}(n) = n \end{eqnarray*}$ , oder wie muß ich das verstehen?

04.09.2018, 08:59

Juli2018

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Sorry, das hätte ich dazu schreiben sollen. "k" ist eine konstante Zahl und "n" die Variable. Das bedeutet, dass 2^k zwar exponentiell über den Exponenten wächst, aber n^n sowohl über den Exponenten als auch über die Basis wachsen kann (auch wenn logarithmisch abgeschwächt).

04.09.2018, 09:31

klarsoweit

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RE: Frage zum Wachstum zweier Funktionen
Trotzdem ist die Frage, ob du mit deinen Verallgemeinerungen an dieser Stelle nicht zu einem falschen Schluß kommst:

Zitat:

Original von Juli2018
In solch einer Schreibweise wäre b(n) immer größer.

Zumindest gibt es endlich viele Ausnahmen, bei denen also a(n) > b(n) gilt. Prinzipiell neige ich auch dazu, daß abgesehen von diesen Ausnahmen a(n) < b(n) gilt, was aber der Behauptung widersprechen würde. verwirrt

04.09.2018, 10:15

Juli2018

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Es ist ja keine Behauptung. In Wolframalpha eingegeben, erhält man $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ : wolframalpha.com/input/?i=limit+of+n+to+infty((2%5E(sqrt(n))%2F(n%5E(log_10(n))))

Was bedeutet, dass a(n) asymptotisch größer ist. Intuitiv ist das für mich nicht.

04.09.2018, 11:32

Steffen Bühler

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Für mich auch nicht. Aber unser Plotter zeigt ebenfalls das Verhalten:

EDIT: log-Funktion korrigiert (war ln)

Lasse ich mein CAS die Nullstellen der Ableitung bilden, erhalte ich tatsächlich mit Hilfe der Lambert-Funktion bei etwa 1,68 ein Maximum und bei etwa 163 ein Minimum. Danach geht die Funktion wieder hoch.

Viele Grüße
Steffen

04.09.2018, 11:50

Elvis

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zu spät (ich habe nur bis n=1243 gerechnet)

04.09.2018, 12:32

Juli2018

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Also einfach akzeptieren, dass das so ist?

04.09.2018, 14:48

HAL 9000

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Betrachten wir doch mal

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{a(n)}{b(n)}\right) = \ln(a(n))-\ln(b(n)) = \sqrt{n}\ln(2)-\frac{(\ln(n))^2}{\ln(10)} \end{eqnarray*}$ .

Nun wächst jede Potenzfunktion $\begin{eqnarray*} n^{\alpha} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ schneller als die Logarithmusfunktion, damit folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \ln\left(\frac{a(n)}{b(n)}\right) = \infty \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{a(n)}{b(n)} = \infty \end{eqnarray*}$ .

04.09.2018, 15:51

Juli2018

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Danke HAL!!!!!

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