Ableitung der Umkehrfunktion von e^x

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jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Hallo,
leider ist es wieder soweit unglücklich smile Ich versuche schon seit gestern die Ableitung des natürlichen Logarithmus zu verstehen und es wird nur noch schlimmer.Immer wenn ich denke ich verstehe es, widerspricht sich alles in der nächsten Gleichung.
Am besten ich gehe der Reihe nach:

Als erstes wird die Gleichung mit Hilfe des Tricks des Steigungsdreiecks aufgestellt.

Anschließend wird wegen der Umkehrung mit ersetzt.
Jetzt wird mit .Hier hakt es bei mir: ist zwar von abhängig, aber nicht von dem selber, sondern immer noch von (was sich aber aus ergibt).Verstehe ich das richtig?Also nicht einfach den x-Wert in die Umkehrfunktion sondern erstmal mit der normalen Funktion ausrechnen und dann dies für benutzen.

Und dann am Ende scheitert irgendwie die Umformung:

wird bei mir zu , was abgeleitet ja eig Null ist und nicht .

Danke schonmal. Weiß nicht wie ich die Vorbereitung ohne euch hinkriegen würde. Freude

/Bild vergessen
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Statt der Formel aus dem Buch (die Du gar nicht richtig wiedergegeben hast), kannst Du einfach die Identitaet



verwenden. Beide Seiten nach abgeleitet ergibt mit der Kettenregel

,

also

.

Das funktioniert analog auch fuer andere Umkehrfunktionen und laesst sich leichter merken und anwenden.
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Danke, dein Ansatz ist um einiges leichter und verständlicher.

Hast Recht wegen der Formel.Ich habe die Klammern nicht richtig gesetzt.
Meinte natürlich:
Kann es sein, dass ich diesen Schritt gar nicht gehen darf, weil jetzt ja eig 0 im Nenner steht.Wie kommt das Buch dann auf : ?
Das Problem ist, dass die nächsten Aufgaben im Buch auf die Formel aufbauen und ich die nicht herleiten kann.Deswegen sorry für die erneute Frage wegen der Formel.

Grüße Eugen
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Ah ja, ich sehe gerade, dass die Autoren Deines Buches ziemlichen Bloedsinn notieren.

Vernuenftige Leute koennen eigentlich mit Ausdruecken wie nur in die Irre geleitet werden. Denn das kann ja eigentlich nur heissen: erst in die Logarithmusfunktion einsetzen und dann ableiten. Nun soll aber nach der Vorrede eine feste Stelle sein. Also leite ich jetzt eine Konstante ab und da muss ja wohl 0 rauskommen.

Gemeint ist es aber gerade andersrum. Erst die Logarithmusfunktion ableiten und dann einsetzen. Entsprechend schreiben vernuenftige Menschen dafuer dann auch . Fuer die Exponentialfunktion gilt entsprechendes, womit man dann



hat. Jetzt klar, was diese Heinis da verbrochen haben?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Ja, gemeint ist natürlich


Schau mal, die Kettenregel lautet doch:

Jetzt darf speziell auch die Umkehrfunktion von sein. Dann ist aber wobei und für alle . Damit ergibt sich:

und nach Umformung:

Das ist die Umkehrregel.

Sei z.B. und daher . Es gilt nun

und

Also ergibt sich
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Um es nochmals zu verschärfen: es handelt sich um das selbe Verfahren wie von 005 geschildert, bloß allgemein und formal aufgeschrieben.
 
 
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Okay, ich komme jetzt schon ein wenig weiter, aber eine Sache kapiere ich einfach nicht.

Gegeben: , und
Gesucht:



Jetzt zu meinem Problem

Zitat:
Original von 005


Jetzt hast du aber in deiner Gleichung stehen. Aber man kann doch nicht einfach mit tauschen, weil ist oder nicht? Und das sehe ich bei jedem Video zu dieser Regel und bin dann wieder bei Null....

Danke für die Geduld. smile
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Ich hab mich bei der Notation an der Seite da aus Deinem Buch orientiert. Welche Buchstaben Du fuer die unabhaengige und die abhaengige Variable benutzt, ist inhaltlich voellig egal. Standardwahl ist . Wenn man nach aufloest, hat man eben . Nachdem man das gemacht hat, kann man als eigenstaendige Funktion ansehen, die Herleitung vergessen und wieder die Standarbezeichnungen herstellen: .

Das fuehrt dann eben zu der Formel

.

Statt dem kann da jeder x-beliebige andere Buchstabe stehen. Der hat keine eigene Bedeutung. Er vertritt nur das Argument der Funktion , also die unabhaengige Variable.

ist in Gruen.

Lern einfach auswendig und vergiss die Herleitung. Also ungefaehr so, wie Du das bei den anderen Ableitungsregeln wohl auch gemacht hast.
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Okay, danke ich glaube ist jetzt drin. Die Formel nutzt also nur den Trick mit dem Steigungsdreieck um auf die Ableitung einer Umkehrfunktion zu kommen.In diesem Fall auf die Ableitung der Umkehrfunktion ln(x).Das Getausche mit dem x und y hat mich nur echt verwirrt und ich wusste nicht mehr was zu was gehört.

Einmal die Formel hergeleitet kann man das ganze wieder von x abhänging machen(bzw. es ist egal ob man die Zahl x oder y nennt).

Thx Big Laugh
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x
Eine Sache liegt mir noch auf dem Herzen.Verstehe ich das richtig, dass auch eine Verkettung ist. Wir benutzen aber hier die Kettenregel nicht, weil wir nur nach f ableiten.
Erst wenn steht sollen wir die Kettenregel anwenden.

Nehmen wir mal als Gegenbeispiel .Hier benutzen wir die Kettenregel,weil und somit

Dieser Beweis hat es für mich echt in sich ... Hammer
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Umkehrfunktion von e^x



Das mit der Reihenfolge -- und warum die Autoren Deines Buches Verbrecher sind -- hab ich schon oben versucht auszufuehren.


Zitat:
Erst wenn steht sollen wir die Kettenregel anwenden.


Da hast Du verdammt recht! smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermeide es, "einen Term abzuleiten". Denn Terme kann man nicht ableiten, sondern nur Funktionen. So schreibe ich in öffentlichen Beiträgen so etwas wie oder grundsätzlich nicht (seltene Ausnahmen bestätigen gegebenenfalls die Regel). Die richtige Schreibweise ist : Es gibt eine Funktion , die eine Ableitung besitzt, das ist eine Funktion, die mit bezeichnet wird, und diese Funktion wird an der Stelle ausgewertet - so ist das zu verstehen. Höchstens wenn es mal schnell gehen muß, erlaube ich mir in meinem Schmierblattgekritzel so etwas wie . Sobald ich aber den Beitrag in meine Tastatur tippe, kehre ich zur korrekten Schreibweise zurück. Hilfsweise nehme ich die dem Leibnizschen Differentialkalkül entlehnte Form , die man als Abkürzung für verstehen muß. Das ist natürlich auch nicht wesentlich besser als , aber zumindest der Mathematikhistorie nach gerechtfertigt.

Letztlich ist das ganze Übel in Folgendem begründet: die klassische Analysis hat keine logisch konsequente korrekte Form, eine Funktion zu notieren, entwickelt. Nur dem Kontext und vor allem der Reihenfolge im Aufschrieb nach kann man entnehmen, ob es sich lediglich um einen Termausdruck handelt, ob mit diesem Termausdruck eine Funktion definiert wird oder ob die Funktion an einer gewissen Stelle ausgewertet wird. So sind die etwa die Operationen "Einsetzen in eine Funktion" und "Ableiten einer Funktion" nicht vertauschbar.



Ableiten:


Einsetzen:


Dagegen:



Einsetzen:


Ableiten:
???
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »

Ableiten:

besteht aus mit und
Somit

Bei der Leibnizschreibweise ist es dann :

?

Grüße Eugen
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe zuerst geschrieben: Das ist ja falsch, weils f nicht mit h verkettet ist, sondern f die Verkettung selber ist.
Schreibe ich dann oder ? Eig das zweite oder?

Oder verstehe ich das ganz falsch und ist mit und ?

Dann mache ich die Aufgabe gleich nochmal neu.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Einsetzen:


Ableiten:
???


Ja, das ist die große Frage! Sicher, wenn man als Variable auffaßt und nach differenziert, erhält man im Ergebnis, was du schreibst. Allerdings bist du in eine Falle getappt und verwendest den Bezeichner im selben Kontext in zweierlei Bedeutung:

Zitat:
Original von jugin2509
Ableiten:

besteht aus mit und ...


Erst führst du den Bezeichner ein, obwohl wir ja dafür schon den Bezeichner besitzen. Und dann ist plötzlich die Verkettung selber . Und dann wird es irgendwie konfus. Immerhin, das Ergebnis stimmt.

Zitat:
Original von Leopold


Einsetzen:


Ableiten:
???


Aber könnte nicht auf Folgendes gemeint sein? Man hat einen vom Parameter abhängigen Punkt des Graphen der Sinusfunktion. Und jetzt will man die Tangentengleichung bestimmen. Dafür braucht man die Steigung:



Das wäre dann oben die nächste Zeile.

Und wenn ich dich jetzt verwirrt habe, dann ist das Absicht. Über diese ganze Problematik einmal gründlich nachzudenken, lohnt sich.

EDIT
Inzwischen hat jugin2509 einen Beitrag nachgereicht, in dem ihm der Bezeichnerwirrwarr aufgefallen ist.
jugin2509 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf ein Neues smile

Zitat:
Original von Leopold


Einsetzen:


Ableiten:
???


ist nichts anderes als mit und
Gefragt ist jetzt die Ableitung der Funktion und nicht der Verkettung selber.
Somit:

Was noch zu unterscheiden ist von:
. Hier ist f nur der Bezeichner der Verkettung mit und
Was abgeleitet: ist.

Denke macht jetzt mehr Sinn.Danke auch für deinen Anreiz über die Problematik nachzudenken.

Übrigens: Sagt man bei : "Man differenziert nach t." und bei : "Man differenziert nach 2t"?

Grüße Eugen
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Höchstens wenn es mal schnell gehen muß, erlaube ich mir in meinem Schmierblattgekritzel so etwas wie .


Vgl. dazu Heuser, Analysis I, Nr. 46:

"Eine weitere Konvention betrifft die Bezeichnung der Ableitung "formelmäßig" oder "durch Rechenausdrücke" gegebener Funktionen. Wir erläutern sie am besten durch ein Beispiel. In der Aufgabe 2 werden wir sehen, daß die Funktion an jeder Stelle die Ableitung besitzt. Diese Tatsache drücken wir kurz durch die Schreibweise für alle aus. Entsprechend sind die Beziehungen für alle , für alle zu verstehen, die wir neben vielen weiteren dieser Art in Nr. 48 beweisen werden."
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