Punkte der Ebene bei e-Funktion bestimmen?

06.09.2018, 22:42	Sophia-Aln	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte der Ebene bei e-Funktion bestimmen? Meine Frage: Hallo , gibt es zufällig jemanden hier der mir folgende Aufgabe erklären könnte? Von welchen Punkten der Ebene kann man eine Tangente an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion legen? Von welchen Punkten gibt es mehrere Tangenten? Ich wäre euch sehr dankbar, könntet ihr mir diese Aufgabe erklären oder mir einen Ansatz geben, ich habe nämlich gar keine Ahnung.. Vielen Dank! Sophia Meine Ideen: Um Tangenten zu berechnen bräuchte ich den Ansatz: y=mx+b, aber weiter bin ich noch nicht.. wie ihr seht, ich bin total verzweifelt!
07.09.2018, 00:09	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte der Ebenen bei e-Funktion bestimmen? Fragt sich, ob die Aufgabe rechnerisch oder argumentativ gelöst werden soll und welche Mittel zur Verfügung stehen. Überlegungen: - Eine Tangente muß dieselbe Steigung haben wie die Funktion in dem Punkt, wo sie anliegt. Daher kommen hier prinzipiell nur Geraden mit positiver Steigung als Tangenten in Frage. - Die Exponentialfunktion ist überall linksgekrümmt, daher können alle Punkte oberhalb der Funktion ausgeschlossen werden, da von diesen aus nur Schnittgeraden gelegt werden können. Sei $\begin{eqnarray} \left(x_{0}/y_{0} \right) \end{eqnarray}$ ein Punkt in der Ebene unterhalb der Exponentialfunktion und $\begin{eqnarray} \left(x_{1}/y_{1} \right) \end{eqnarray}$ ein Punkt der Exponentialfunktion, dann hat die Gerade durch diese beiden Punkten die Steigung $\begin{eqnarray} \frac{y_{1}-y_{0} }{x_{1}-x_{0}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{y_{0}-y_{1} }{x_{0}-x_{1}} \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} x_{1} >x_{0} \end{eqnarray}$ , dann muß $\begin{eqnarray} y_{1} >y_{0} \end{eqnarray}$ sein. Dieser Fall ist unproblematisch, da die Exponentialfunktion überall streng monoton steigend ist und bereits $\begin{eqnarray} e^{x_{0} }>y_{0} \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} x_{0} >x_{1} \end{eqnarray}$ , dann muß $\begin{eqnarray} y_{0} >y_{1} \end{eqnarray}$ sein. Dies bedeutet aber, dass $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ größer sein muß als der kleinste Funktionswert der Exponentialfunktion, um eine Tangente anzulegen. Da ich mich langsam einer Gesamtlösung nähere: Kannst Du mit diesen Informationen die Fallunterscheidung finden für Punkte, durch die man 1 oder 2 Tangenten legen kann? (Ich hoffe, das war bisher schlüssig und ich habe nichts Wesentliches übersehen)

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