[Erledigt] Konstruktion eines Körpers mit vier Elementen

09.09.2018, 15:15

MatheKind

[Erledigt] Konstruktion eines Körpers mit vier Elementen

Hallo an alle,

ich lese gerade ein Buch über lineare Algebra und momentan geht es um die Konstruktion eines Körper mit vier Elementen.
Da wird unter anderem gesagt, dass in diesem Körper $\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben muss, da alles andere zu Widersprüchen führen würde (siehe zweiter Anhang). Allerdings ist doch so gesehen $\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Widerspruch, da dies implizit bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} 1 = -1 \end{eqnarray*}$ ist.

Dann wird als nächstes $\begin{eqnarray*} a + a \end{eqnarray*}$ hergeleitet, wo plötzlich behauptet wird, dass $\begin{eqnarray*} a + a = a \cdot (1+1) \end{eqnarray*}$ . Dieser Übergang wird nirgends erklärt und leuchtet mir ehrlich gesagt nicht ein. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus!

Liebe Grüße,
MatheKind

09.09.2018, 15:25

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Allerdings ist doch so gesehen 1+1=0 ebenfalls ein Widerspruch, da dies implizit bedeutet, dass 1=−1 ist.

Nein, es ist kein Widerspruch.
Was genau widerspricht denn deiner Meinung nach 1=-1?

Ihr rechnet hier mit Körpern, daher habt ihr sicher ich die Defintion eines Körpers genacht.
Was zeichnet denn die 1 (das multiplikativ neutrale Element) im Körper aus?

09.09.2018, 15:41

MatheKind

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Zitat:

Original von tatmas
Hallo,

Zitat:

Allerdings ist doch so gesehen 1+1=0 ebenfalls ein Widerspruch, da dies implizit bedeutet, dass 1=−1 ist.

Nein, es ist kein Widerspruch.
Was genau widerspricht denn deiner Meinung nach 1=-1?

Mir ist nicht klar, weshalb $\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 1 \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch sein soll, aber $\begin{eqnarray*} 1 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht. $\begin{eqnarray*} 1=-1 \end{eqnarray*}$ ist meiner Ansicht nach ein Widerspruch, da die Vorzeichen unterschiedlich sind.

Zitat:

Ihr rechnet hier mit Körpern, daher habt ihr sicher ich die Defintion eines Körpers genacht.
Was zeichnet denn die 1 (das multiplikativ neutrale Element) im Körper aus?

Etwas, das mit 1 multipliziert wird, ergibt die Identität. Oha. Ok, meine zweite Frage ist mir nun klar, aber meine erste Frage ist mir noch nicht klar. smile

09.09.2018, 15:55

tatmas

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Aus 1+1=1 folgt 1=0.
Schau mal in die Defintion von Körper, da steht drin, dass das additiv neutrale Element, die 0, verschieden ist vom multiplikativ neutralem Element, der 1.
(Bei Ringen gilt das z.B. u.U. nicht.)

Zitat:

1=−1 ist meiner Ansicht nach ein Widerspruch, da die Vorzeichen unterschiedlich sind.

Du verwechselst Widerspruch mit ungewohnt.
Wogegen in der Defintion eines Körpers oder sonstwo relaventes verstößt das genau?

Vorzeichen ist etwas bei reellen Zahlen. Du hast hier einen (nicht ganz) beliebigen Körper.
Da bedeutet -x, dass du hier das additiv inverse zu x hast. Es gibt keinen Zahlenstrahl wo das links oder rechts der Null angeordnet wird.

09.09.2018, 17:16

MatheKind

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Ok, danke für die Aufklärung. Ich lerne das übrigens zum Spaß. Augenzwinkern

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