Umgebungssystem Beispiel

11.09.2018, 09:35	Verrumal	Auf diesen Beitrag antworten »
Umgebungssystem Beispiel Meine Frage: Hallo zusammen, ich brauch bei folgender Aufgabe eure Hilfe. Ich habe eine Topologie O gegeben. $\begin{eqnarray} \mathcal{O}=\left\{ \emptyset , X, \left\{ 2\right\}, \left\{ 3\right\}, \left\{ 4\right\}, \left\{ 4,5\right\}, \left\{ 2,3\right\}, \left\{ 2,4\right\}, \left\{ 2,4,5\right\}, \left\{ 3,4\right\}, \left\{ 3,4,5\right\}, \left\{ 2,3,4\right\}, \left\{ 2,3,4,5\right\} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5\right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu dieser soll ich jetzt für jedes $\begin{eqnarray} x \in X ~ \end{eqnarray}$ das Umgebungssystem sowie die dazugehörige Umgebungsbasis bestimmen. $\begin{eqnarray} \mathcal{U}(1)= \left\{ X\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{B}(1)= \left\{ X\right\} \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \mathcal{U}(2)~ \end{eqnarray}$ habe ich eine halbfertige Lösung vorgegeben, allerdings ist mir hier einiges noch nicht klar. Ich muss ja für $\begin{eqnarray} \mathcal{U}(2)~ \end{eqnarray}$ alle offenen Mengen mit der 2 nehmen, dass wären ja $\begin{eqnarray} X, \left\{ 2\right\}, \left\{ 2,3\right\}, \left\{ 2,4\right\}, \left\{ 2,4,5\right\}, \left\{ 2,3,4\right\}, \left\{ 2,3,4,5\right\} \end{eqnarray}$ . Die 1 ist keine offene Menge in O, deshalb müsste ich die 1 doch auch noch mit zu den offenen Mengen von 2 nehmen, oder? In meiner Lösung steht hier das: $\begin{eqnarray} \left\{ 1,2\right\}, \left\{1, 2,3\right\}, \left\{ 1,2,4\right\}, ... , \left\{ 1, 2,3,4\right\} \end{eqnarray}$ . Aber wofür stehen die drei Pünktchen? Bin dankbar für eure Hilfe.
13.09.2018, 16:05	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} \{2\} \end{eqnarray}$ offen ist, ist jede Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , die 2 enthält, eine Umgebung von 2. Also $\begin{eqnarray} \mathcal U(2)=\{A\subseteq X\mid 2\in A\} \end{eqnarray}$ . In der "Pünktchenschreibweise" wird das nicht so wirklich klar, da gebe ich dir Recht. Ich verstehe nur nicht, was mit "die zugehörige Umgebungsbasis" gemeint ist. Im Allgemeinen gibt es zu einem Punkt nicht nur eine Umgebungsbasis. Z.B. ist jedes Umgebungssystem auch eine Umgebungsbasis (sogar die größtmögliche); hier ist aber auch $\begin{eqnarray} \{\{2\}\} \end{eqnarray}$ eine Umgebungsbasis von 2.

1

Verwandte Themen