Ableitung von axe^(x*b)

12.09.2018, 06:47

FeK

Ableitung von a*x*e^(x*b)

Meine Frage:
Ich muss die Gleichung ableiten um die Werte der einzelnen Faktoren herauszubekommen. Die erste Ableitung bei 0,5 ist nämlich 0. Das aber nur nebenbei ich scheitere schon an der Ableitung.

Meine Ideen:
Ich denke ich brauche die Produktregel, die ich auch anwenden kann... Nur nicht bei Variablen, zumindest bekomme ich es gerade nicht heraus.

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen, auch nicht im Titel (modifiziert).

12.09.2018, 07:36

Equester

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Produktregel ist die richtige Idee.
Wende sie mal an. Stelle dir gerne auch a = 5 und b = 7 vor, wenn dir das hilft Augenzwinkern

.

Probiers mal und ich schau mir das an.

12.09.2018, 11:55

mYthos

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RE: Ableitung von a*x*e^(x*b)

Zitat:

Original von FeK
...
Ich muss die Gleichung ableiten ...

Welche Gleichung? Es ist hier keine zu sehen, sondern nur ein Term (!).
Ausserdem werden Funktionen abgeleitet, nicht Gleichungen.
Nach der Produktregel kommt auch noch die Kettenregel zum Zug.

Bitte achte in Hinkunft auf eine mathematisch korrekte Schreibweise bzw. Ausdrucksweise!

mY+

12.09.2018, 23:26

Finn_

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RE: Ableitung von a*x*e^(x*b)
Man muss jetzt nicht unbedingt Produkt- und Kettenregel anwenden. Unter Heranziehung der Exponentialreihe
$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$
und der Funktionalgleichung für die Fakultät, d.h.
$\begin{eqnarray*} (k+1)! = (k+1)k! \end{eqnarray*}$
gelingt die Rechnung
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}xe^{bx} &&= \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x\sum_{k=0}^\infty \frac{(bx)^k}{k!} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \sum_{k=0}^\infty b^k\frac{x^{k+1}}{k!} = \sum_{k=0}^\infty (k+1)b^k\frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty (k+1)\frac{(bx)^k}{k!}<br /> &&= 1+\sum_{k=0}^\infty (k+2)\frac{(bx)^{k+1}}{(k+1)!} = 1+\sum_{k=0}^\infty \frac{(bx)^{k+1}}{(k+1)!} +\sum_{k=0}^\infty (k+1)\frac{(bx)^{k+1}}{(k+1)!} = 1+\sum_{k=0}^\infty \frac{(bx)^{k+1}}{(k+1)!} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(bx)^{k+1}}{k!}<br /> &&= 1+\sum_{k=0}^\infty \frac{(bx)^{k+1}}{(k+1)!} + bx\sum_{k=0}^\infty \frac{(bx)^k}{k!} = 1+e^{bx}-1+bxe^{bx} = (1+bx)e^{bx}. \end{eqnarray*}$

13.09.2018, 00:57

Finn_

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RE: Ableitung von a*x*e^(x*b)
Wenn man nur auf die Produktregel verzichten möchte, dann bietet sich auch die Umformung
$\begin{eqnarray*} xe^{bx} = e^{\ln(x)+bx} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ an. Ein strenger Beweis erfordert noch Fallunterscheidungen: wenn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} x=-e^{\ln(-x)} \end{eqnarray*}$ . Magic happens, man kommt auf das selbe Ergebnis, welches nun für alle $\begin{eqnarray*} x\ne 0 \end{eqnarray*}$ gesichert ist. Das Produkt von zwei stetig differenzierbaren Funktionen ist aber wieder stetig differenzierbar (Produktregel+Arithmetik stetiger Funktionen). Die Ableitung ist also stetig, und stimmt daher an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ mit der stetigen Fortsetzung überein. Weil nach den Grenzwertsätzen aber offensichtlich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\xi} [(bx+1)e^{bx}] = (b\xi+1)e^{b\xi} \end{eqnarray*}$
gilt, ist das Ergebnis nun zwingenderweise für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gesichert.

Der Ansatz lässt sich auch verallgemeinern:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (f(x)g(x)) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} e^{\ln f(x)+\ln g(x)} = f(x)g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right) = g(x)f'(x)+f(x)g'(x). \end{eqnarray*}$

13.09.2018, 16:22

10001000Nick1

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@Finn: Das könnte man auch als "mit Kanonen auf Spatzen schießen" bezeichnen. Augenzwinkern

Ich bezweifle stark, dass in den meisten Schulen Potenzreihen, deren Ableitung etc. behandelt werden. Produkt- und Kettenregel dagegen sollte jeder Abiturient kennen.

14.09.2018, 01:42

mYthos

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Das sehe ich auch so. Augenzwinkern

mY+

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