Unterschied der Definition Flächenstück |
| 12.09.2018, 09:27 | Lisa223 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Unterschied der Definition Flächenstück Hallo alle zusammen ich habe hier zwei Definitionen und verstehe nicht ganz den unterschied zwischen diesen. Die zwei Definitionen sollen verschiedene sein: Meine Ideen: In der ersten Definition definieren wir was ein reguläres Parametrisiertes Flächenstück ist, das ist mir klar. Was definieren wir in der 2. Definition? Ein Reguläres parametrisiertes Flächenstück ist doch schon eine parametrisierung? Hat die 2.Definition etwas mit eingebetteten Flächen zu tun? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen |
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| 13.09.2018, 13:39 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also die Definition 2.1 sollte klar sein. Die Parameterfläche sollte zunächst für praktische Anwendungen/Operationen/Sätze hinreichend glatt sein. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit (ohne präzise Definition) lässt sich über ihre Tangentialräume charakterisieren. Möchtest du dass die Parameterfläche überall hübsch ausschaut und nirgends zu kleinerer Dimension zusammenfällt, muss span(Tangentialbasis) überall zweidimensional bzw. die Tangentialbasis linear unabhängig sein. Die erste Frage die sich nun stellt, ist, warum B Zwischenform von einem offenen U und dem Abschluss sein soll. Stell dir als pathologisches Beispiel mal vor, B hätte einen eindimensionalen Ausläufer. Man möchte eigentlich voraussetzen dass sich beide Parameter frei bewegen können. Das lässt sich erreichen indem man eine offene Menge U voraussetzt, was sich noch dadurch etwas abschwächen lässt, dass es von U bis zum Abschluss von U reichen kann. Die Definition 2.2 legt nun einerseits eine Bedingung dafür fest, dass F in der Umgebung eines Punktes p eine zweidimensionale Fläche ist, andererseits eine Überlegung wie sich in der Umgebung von p ein lokales Koordinatensystem definieren lässt. Eine Parameterfläche kann ja Doppelpunkte enthalten. Zum Beispiel schneidet eine in den dreidimensionalen Raum eingebettete kleinsche Flasche sich selbst. Es lassen sich auch Beispiele konstruieren, wo ganze Flächenstücke aufeinander liegen. Die Idee bei einem lokalen Koordinatensystem (einer lokalen Karte) ist aber, dass es sich um eine bijektive Abbildung handeln soll. Ich möchte nicht, dass ein Kartenpunkt in zwei Städten liegt oder ein Ort zwei Kartenpunkte besitzt. Man könnte das natürlich auch zulassen, aber das ist dann keine normale Karte mehr. Die Bedingungen in Definition 2.2 charakterisieren nun sehr genau, was eine lokale Karte ist, bzw. wie man sich solch eine Karte idealistisch vorstellt. Der Homöomorphismus stellt z.B. sicher, dass bei kleiner Änderung von u, sich auch f(u) nur wenig ändert, dass es also keine Sprünge/Teleporte gibt. Das Gegenteil zu einem Homöomorphismus wäre eine zerrissene Karte oder eine durch die Karte zerrissene Fläche. Noch hübscher wird die lokale Karte übrigens, wenn f als glatter Diffeomorphismus vorliegt. |
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