Zentraler Grenzwertsatz - Wahrscheinlichkeit bestimmen

12.09.2018, 13:36

dubbox

Zentraler Grenzwertsatz - Wahrscheinlichkeit bestimmen

Meine Frage:
Mal wieder eine Klausurvorbereitungsfrage smile

Ein Spielsüchtiger spielt seit Jahren ein Gewinnspiel, bei dem die Gewinnchance bei 0,12 liegt. Er hat es über die Jahre bereits 1500 mal gespielt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Gewinne bei dieser Anzahl an Durchführungen.

a) Berechnen sie E(X) und V(X).
b) Wie wahrscheinlich ist es, bei 1500 Durchführungen mindestens 150 und maximal 200 mal zu gewinnen? (Nur die Formel angeben)
c) Approximieren sie die Wahrscheinlichkeit aus obiger Teilaufgabe mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes. <-- hier liegt das Problem!

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
a)
Erstmal handelt es sich um eine Binomialverteilung die $\begin{eqnarray*} B(1500,0.12) \end{eqnarray*}$ -verteilt ist.

Somit ergibt sich $\begin{eqnarray*} E(X) = np=1500\cdot0.12 = 180 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X) = npq =1500\cdot0.12\cdot0.88=158.4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q=1-p \end{eqnarray*}$ .

b)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich wie folgt

$\begin{eqnarray*} P(150\leq X\leq200) = P(X\leq200)-P(X\geq150) =\sum\limits_{k=0}^{200} {1500\choose k} \cdot 0.12^k \cdot 0.88^{1500-k} - \sum\limits_{k=0}^{149} {1500\choose k} \cdot 0.12^k \cdot 0.88^{1500-k} = \sum\limits_{k=150}^{200} {1500\choose k} \cdot 0.12^k \cdot 0.88^{1500-k} \end{eqnarray*}$

c)
Jetzt kommt mein Problem

Ich will das Ganze mit folgender Formel lösen.

$\begin{eqnarray*} P=\left( \frac{Y-nE(X)}{\sqrt{nV(X)}} \leq x \right) \approx \phi(x) \end{eqnarray*}$

Ich bestimme also $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ als Summe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht irre sollte das $\begin{eqnarray*} Y= 150+151+...+200 = \sum\limits_{i=150}^{200}i = \sum\limits_{i=0}^{200}i - \sum\limits_{i=0}^{149}i = \frac{200(200+1)}{2} - \frac{149(149+1)}{2} = 8925 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun alles in die Formel einsetze

$\begin{eqnarray*} P=\left( \frac{8925-1500\cdot180}{\sqrt{1500\cdot158.4)}} \leq x \right) \approx \phi(x) \end{eqnarray*}$ bekomme ich hier aber keinen Wert < 1 herraus.
Ich habe den Zentralen Grenzwertsatz noch nie benutzt und offensichtlich mache ich also etwas falsch. An kleinen Beispielen konnte ich ihn nachvollziehen (10fache Würfelwurf) aber irgendwie mache ich hier wohl etwas ganz falsch?

12.09.2018, 13:49

HAL 9000

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Du bringst da einiges durcheinander. Die Approximation für $\begin{eqnarray*} X=X_1+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ basiert auf dem Zentralem Grenzwertsatz (ZGWS):

$\begin{eqnarray*} \frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}} \sim \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ näherungsweise. (*)

Sind die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch verteilt, so ist $\begin{eqnarray*} E(X) = nE(X_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X)= nV(X_1) \end{eqnarray*}$ , dann lautet das ganze

$\begin{eqnarray*} \frac{X-nE(X_1)}{\sqrt{nV(X_1)}} \sim \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ näherungsweise. (**)

Im Kontext deiner Aufgabe kannst du nun entweder mit $\begin{eqnarray*} X\sim B(1500,0.12) \end{eqnarray*}$ und dann (*) rechnen, oder aber mit bernoulliverteilten $\begin{eqnarray*} X_1\sim B(1,0.12) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n=1500 \end{eqnarray*}$ und (**), das ist rum wie num. Nur ein solcher Mischmasch aus beiden wie bei dir - das geht überhaupt nicht. unglücklich

Nach deinen Vorberechnungen bietet sich natürlich (*) an, d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right)\approx \Phi\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ mit deinen Werten $\begin{eqnarray*} \mu=180 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{158.4} \end{eqnarray*}$ .

Aus Gründen der sogenannten Stetigkeitskorrektur (S) rechnet man nun

$\begin{eqnarray*} P(150\leq X \leq 200) = P(X\leq 200) - P(X\leq 149) \stackrel{(S)}{=} P(X\leq 200.5) - P(X\leq 149.5) \approx \Phi\left( \frac{200.5-180}{\sqrt{158.4}} \right) - \Phi\left( \frac{149.5-180}{\sqrt{158.4}} \right) \end{eqnarray*}$ .

13.09.2018, 11:16

dubbox

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Okay da hab ich wohl so ziemlichen Mist gebaut Big Laugh

Dank deiner Ausführung, wurde aber hoffentlich etwas Licht ins sehr Dunkle gebracht!

Ich habe im Skript folgenden Satz definiert und probiere das Ganze mal hiermit zu formulieren.

$\begin{eqnarray*} X_1, X_2,... \end{eqnarray*}$ ist eine Folge identisch verteilter unabhängiger Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} E(X_i)=\mu_i, Var(X_i)=\sigma^2_i, i=1,2,... \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P \left(\frac{X_1 + ... + X_n - (\mu_1 + ... \mu_n)}{\sqrt{\sigma^2_1+ ... +\sigma^2_n}} \leq y\right) = \Phi(y), \forall y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Jetzt zur Aufgabe:

Da die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängig identisch verteil sind, gilt wie von dir bereits erwähnt $\begin{eqnarray*} E(X_i)=E(X_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X_i)=V(X_1) \end{eqnarray*}$ was uns zu folgender Vereinfachung führt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P \left(\frac{X_1 + ... + X_n - n\mu_1}{\sqrt{n\sigma^2_1}} \leq y\right) = \Phi(y), \forall y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir jetzt noch, dass in der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} E(X) =\mu = p, V(X) =\sigma^2= p(1-p) \end{eqnarray*}$ erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P \left(\frac{X_1 + ... + X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq y\right) = \Phi(y), \forall y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Da unsere Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nur wahr oder falsch sein kann, gibt es die Werte 0/1.

Somit ist für 200 Treffer bei 1500 Versuchen $\begin{eqnarray*} X_1+...X_{1500} = 200*1+1300*0=200 \end{eqnarray*}$ so ist gleichermaßen für 150 Treffer bei gleicher Anzahl an Versuchen $\begin{eqnarray*} X_1+...+X_{1500}=150 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} np = 1500*0.12=180, np(1-p)=1500*0.12*0.88=158.4 \end{eqnarray*}$ ergeben sich die Formeln, welche auch du schon erwähnt hast

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 200) \approx \Phi \left(\frac{200 - 180}{158.4}\right)=\Phi(1.589) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X\leq 150) \approx \Phi \left(\frac{150- 180}{158.4}\right)=\Phi(-2.384) \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(150\leq X \leq 200) = P(x\leq 200) - P(X\leq 150) \approx \Phi(1.589)-\Phi(-2.384) \end{eqnarray*}$

Jetzt sind 3 Fragen offen
1. In unserem Skript steht nichts von einer Steigkeitskorrektur, also weglassen?
2. Wie finde ich $\begin{eqnarray*} \Phi(-2.384) \end{eqnarray*}$ , bzw. geht das denn Überhaupt? Wir haben für die N(0,1)-Verteilung Tabellen, die gehen aber nur bis 2,9.. und nicht ins Minus.
3. Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für 1500 Treffer bei 1500 Versuchen in die Formel eingebe, kommt $\begin{eqnarray*} \Phi(1485.689) \end{eqnarray*}$ herraus, bedeutet das, dass der ZGW hier keine Approximation mehr liefert oder ist Phi auch für so große Werte definiert, nur dass das Ergebnis eben entsprechend klein ist?

13.09.2018, 11:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
1. In unserem Skript steht nichts von einer Steigkeitskorrektur, also weglassen?

Wenn du mit der dann schlechteren Approximationsgenauigkeit leben kannst, dann kannst du sie weglassen.

Zitat:

Original von dubbox
2. Wie finde ich $\begin{eqnarray*} \Phi(-2.384) \end{eqnarray*}$ , bzw. geht das denn Überhaupt?

Symmetrie der Standardnormalverteilung: Es ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-t)=1-\Phi(t) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von dubbox
3. Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für 1500 Treffer bei 1500 Versuchen in die Formel eingebe,

In diesen extremen Randbereichen ist die Approximation barbarisch schlecht. Rechne doch da bitte (wenn es überhaupt sein muss) mit der originalen Binomialverteilung.

15.09.2018, 09:47

dubbox

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Okay mal wieder vielen Dank!

Um das Ganze zu vervollständigen:

$\begin{eqnarray*} P(150\leq X \leq 200) = P(x\leq 200) - P(X\leq 150) \approx \Phi(1.589)-\Phi(-2.384) =\Phi(1.589)-(1-\Phi(2.384)) \approx 0.9429 - (1-0.9913) = 0.9342 \end{eqnarray*}$

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