Zentraler Grenzwertsatz - Wahrscheinlichkeit bestimmen

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dubbox Auf diesen Beitrag antworten »
Zentraler Grenzwertsatz - Wahrscheinlichkeit bestimmen
Meine Frage:
Mal wieder eine Klausurvorbereitungsfrage smile

Ein Spielsüchtiger spielt seit Jahren ein Gewinnspiel, bei dem die Gewinnchance bei 0,12 liegt. Er hat es über die Jahre bereits 1500 mal gespielt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Gewinne bei dieser Anzahl an Durchführungen.

a) Berechnen sie E(X) und V(X).
b) Wie wahrscheinlich ist es, bei 1500 Durchführungen mindestens 150 und maximal 200 mal zu gewinnen? (Nur die Formel angeben)
c) Approximieren sie die Wahrscheinlichkeit aus obiger Teilaufgabe mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes. <-- hier liegt das Problem!

Meine Ideen:

a)
Erstmal handelt es sich um eine Binomialverteilung die -verteilt ist.

Somit ergibt sich und mit .

b)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich wie folgt



c)
Jetzt kommt mein Problem

Ich will das Ganze mit folgender Formel lösen.



Ich bestimme also als Summe der , wenn ich mich nicht irre sollte das

Wenn ich nun alles in die Formel einsetze

bekomme ich hier aber keinen Wert < 1 herraus.
Ich habe den Zentralen Grenzwertsatz noch nie benutzt und offensichtlich mache ich also etwas falsch. An kleinen Beispielen konnte ich ihn nachvollziehen (10fache Würfelwurf) aber irgendwie mache ich hier wohl etwas ganz falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du bringst da einiges durcheinander. Die Approximation für basiert auf dem Zentralem Grenzwertsatz (ZGWS):

näherungsweise. (*)

Sind die unabhängig identisch verteilt, so ist und , dann lautet das ganze

näherungsweise. (**)


Im Kontext deiner Aufgabe kannst du nun entweder mit und dann (*) rechnen, oder aber mit bernoulliverteilten sowie und (**), das ist rum wie num. Nur ein solcher Mischmasch aus beiden wie bei dir - das geht überhaupt nicht. unglücklich


Nach deinen Vorberechnungen bietet sich natürlich (*) an, d.h., es ist

mit deinen Werten und .

Aus Gründen der sogenannten Stetigkeitskorrektur (S) rechnet man nun

.
 
 
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Okay da hab ich wohl so ziemlichen Mist gebaut Big Laugh

Dank deiner Ausführung, wurde aber hoffentlich etwas Licht ins sehr Dunkle gebracht!

Ich habe im Skript folgenden Satz definiert und probiere das Ganze mal hiermit zu formulieren.

ist eine Folge identisch verteilter unabhängiger Zufallsvariablen mit gilt


Jetzt zur Aufgabe:

Da die unabhängig identisch verteil sind, gilt wie von dir bereits erwähnt und was uns zu folgender Vereinfachung führt



Betrachten wir jetzt noch, dass in der Binomialverteilung gilt erhalten wir



Da unsere Zufallsvariable nur wahr oder falsch sein kann, gibt es die Werte 0/1.

Somit ist für 200 Treffer bei 1500 Versuchen so ist gleichermaßen für 150 Treffer bei gleicher Anzahl an Versuchen

Mit ergeben sich die Formeln, welche auch du schon erwähnt hast

und

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit

Jetzt sind 3 Fragen offen
1. In unserem Skript steht nichts von einer Steigkeitskorrektur, also weglassen?
2. Wie finde ich , bzw. geht das denn Überhaupt? Wir haben für die N(0,1)-Verteilung Tabellen, die gehen aber nur bis 2,9.. und nicht ins Minus.
3. Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für 1500 Treffer bei 1500 Versuchen in die Formel eingebe, kommt herraus, bedeutet das, dass der ZGW hier keine Approximation mehr liefert oder ist Phi auch für so große Werte definiert, nur dass das Ergebnis eben entsprechend klein ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dubbox
1. In unserem Skript steht nichts von einer Steigkeitskorrektur, also weglassen?

Wenn du mit der dann schlechteren Approximationsgenauigkeit leben kannst, dann kannst du sie weglassen.

Zitat:
Original von dubbox
2. Wie finde ich , bzw. geht das denn Überhaupt?

Symmetrie der Standardnormalverteilung: Es ist für alle reellen .



Zitat:
Original von dubbox
3. Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für 1500 Treffer bei 1500 Versuchen in die Formel eingebe,

In diesen extremen Randbereichen ist die Approximation barbarisch schlecht. Rechne doch da bitte (wenn es überhaupt sein muss) mit der originalen Binomialverteilung.
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Okay mal wieder vielen Dank!

Um das Ganze zu vervollständigen:

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