Basisbestimmung von U+W und U geschnitten W |
| 13.09.2018, 11:15 | Anna. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Basisbestimmung von U+W und U geschnitten W Hallo, ich habe zwei Vektoren aus U gegeben und zwei Vektoren aus W. Wenn ich nun eine Basis von U + W aufstellen möchte, nehme ich den Ansatz: 0 = x1 * v1 + ? + x4 * v4 Ich schreibe mir dann die Vektoren in eine Matrix ein Zeilen bestimme den Rang, und nehme die linear unabhängigen Vektoren als Basis. (In meinem Beispiel bekomme ich da 3 Vektoren raus, die die Basis bilden) Das ist doch soweit richtig oder? Nun zum Schnitt. gleiche Situation. 2 Vektoren aus U und 2 aus W sind gegeben. Ansatz x1 * v1 + x2 * v2 = x3 * v3 + x4 * v4 Dass umgestellt zu 0 = ?. Schreibe das wieder in eine Matrix. Bekomme für mein Beispiel x1 = x2 = x3 = x4 = 0 raus. Nun zu meiner Frage: Wie komme ich damit weiter? Meine Ideen: 1. In einem Beispiel haben wir die Lösung in Abhängigkeit von einem Parameter aufgestellt also z.B. in Abhängigkeit von x4. 2. Ich nehme einfach den Nullvektor?? also x1=?=x4=0? Danach muss ich das ganze ja noch einsetzten. Also: Für U : x1 * v1 + x2 * v2 = ? (=erste Vektor der Basis) Für W : x3 * v3 + x4 * v4 = ? (zweite Vektor der Basis) Mir fehlt also nur dieser kleine Zwischenschritt. D.h. Nullvektor verwenden oder in Abhängigkeit lösen. Wenn ich den Nullvektor verwenden würde, würde ich im endschritt natürlich nur einen Nullvektor rausbekommen. Die Basis vom Nullvektor wäre doch aber die leere Menge?? Muss ich noch auf etwas achten, da ja die Basis von U+W 3 Vektoren enthält, darf der Schnitt nur noch eine bestimmte Anzahl enthalten ?? Oder spielt das keine Rolle? Über eine Antwort würde ich mich wirklich freuen LG Anna 
Meine Ideen: stehen bereits oben |
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| 13.09.2018, 11:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum versuchst du, mit vielen Worten eine Aufgabe zu beschreiben, die du nicht richtig verstanden hast ? Zeige dein konkretes Problem und deine konkrete Rechnung, dann können wir darüber diskutieren. Dein Ansatz ist unklar, weil du nicht sagst, was x und v sein soll. Übrigens gilt immer der Dimensionssatz . Folgerung: Wenn die Summe von zwei 2-dimensionalen UVRen 3 ist, dann ist ihr Durchschnitt 1-dimensional. |
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| 13.09.2018, 11:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basisbestimmung von U+W und U geschnitten W
Hm, der Ansatz ist meines Erachtens nicht die Frage, wie man den Nullvektor produzieren kann, sondern wie man aus einem Erzeugendensystem ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren extrahiert. Das hast du dann ja in der weiteren Folge wohl auch gemacht.
Wenn das definitiv die einzige Lösung ist, dann besteht der Schnitt nur aus dem Nullvektor. Wie jedoch Elvis ausgeführt hat, kann das jedoch nicht sein. |
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| 13.09.2018, 11:55 | Anna. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die schnellen Antworten
Okay, dann nochmal konkret. Vektoren aus U (1, 0, 2, -1) und (0,1,3,1) Vekotren aus W (1, 1 , -1, 2) und (0, 1 9, -1) Die Basis von U+W habe ich bestimmt, diese ist: (1,0,2,1), (0,1,3,1), (0,0,-12, 4) Nun möchte ich eine Basis vom Schnitt bestimmen. Nach der Dimensionsformel muss dieser ja ein Element besitzen. Ansatz 0 = x1 * (1,0,2,-1) + x2*(0,1,3,1) - x3* (1,1,-1,2) - x4 * (0,1,9,-1) Das habe ich in eine Matrix geschrieben mit dem Ergebnis: x1 = x2 = x3 = x4 = 0 Dann haben wir im nächsten Schritt x1 - x4 eingesetzt: Für U: x1 * (1,0,2,-1) +x2*(0,1,3,1)= für x2 und x2 null eingesetzt ergibt das = (0,0,0,0) Für W: x3 * (1,1,-1,2) + x4 * (0,1,9,-1)= (0,0,0,0) Somit wäre die Basis der Nullvektor. Aber das geht doch gar nicht? Dieser hätte ja auch die Dimension Null. Die Dimensionsformel besagt ja, dass die Dimension für mein Beispiel, für den Schnitt 1 sein muss? Die Lösung wäre, dass ganze in abhängigkeit von x4 zu lösen. Aber, dass habe ich in einer anderen Übung auch gemacht und da wurde es mir als falsch angerechnet. x1 = 1x4 x2= 2x4 x3= 1x4 x4= 1 Lösung also x4 * (1,2,1,1) Dass eingesetzt in den Teil "Für U, Für W" ergbit (1,2,8,1) der dann angeblich im Schnitt liegt. Ich bin mir jetzt unsicher, ob ich das machen darf oder sogar muss und ob das immer möglich ist? |
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| 13.09.2018, 12:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In meinem vorigen Beitrag hatte ich schon angedeutet, daß das nicht die einzige Lösung sein kann. Rechne doch mal (1, 0, 2, -1) + 2 * (0,1,3,1) und vergleiche das mit (1, 1 , -1, 2) + (0, 1 9, -1) . |
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| 13.09.2018, 12:34 | Anna. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, wenn ich dass ausrechen komme ich beide male auf (1,2,8,1). Aber ich weiß irgendwie nicht so richtig wie man darauf kommt, zwar ist es dass richtige Ergebnis, aber ich verstehe nicht was man da macht. 
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| 13.09.2018, 12:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du mußt eben dieses:
korrekt lösen. Das kann ja nicht so schwer sein.
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| 13.09.2018, 13:09 | Anna. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe es jetzt nochmal durchgerechnet. Und ich hatte wirklich einen Fehler drin. Ich bekomme natürlich nicht x1 = x2 = x3 = x4=0 raus. Mein Ergebniss ist jetzt: x1= x4 x2= 2x4 x3 = x4 x4 = 1 Also mit x4 rausgezogen (1,2,1,1) womit ich dann auch auf das richtige Endergebnis komme. Ich wollte praktisch nachdem ich null rausbekommen hatte, alles nachträglich in abhängigkeit setzten, was ja überhaupt keinen Sinn ergibt. Vielen Vielen Dank
Nicht auf diese Aufgabe bezogen: Wenn ich jetzt also wirklich mal die Lösung x1 = x2 = x3= x4 rausbekommen würde, würde der Schnitt nur aus dem Nullvektor bestehen. Wäre dann die Basis für den Schitt die leere Menge? |
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| 13.09.2018, 13:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, wenn die einzige Lösung x1 = x2 = x3= x4 = 0 ist. |
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