Nur ganzzahlige Lösungen für x^2+y^2=z^n

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Nur ganzzahlige Lösungen für x^2+y^2=z^n
Hallo zusammen,

es geht um:

"Zeigen Sie, dass die Gleichung für jedes n = 1,2,3, ... ganzzahlige Lösungen hat."

Ich bin nicht sicher, ob entsprechend der Aufgabenstellung folgendes als angemessene Lösung anerkannt werden kann. Deswegen die Frage(n): Ist das so? Wenn nein, warum nicht? Wenn ja, wer hat noch andere Lösungen und welche wären das?

1. Ich kenne mindestens eine Lösung für x, y, z, wenn n = 2, nämlich: x = 3, y = 4, z = 5. deswegen ist also eine wahre Aussage:



Außerdem sehe ich für n = 1 unendlich viele Lösungen, weil die Menge der für x oder y eingesetzten ganzen Zahlen unendlich groß ist und n deshalb für n = 1 ignoriert werden kann, da sich dadurch an Potenzwert nichts ändern.

[Anmerkung: Im Anschluss daran habe ich irgendwann aufgehört darüber nachzudenken, was einzelne Lösungen für n = 3, n = 4 ... sein können und kam zu der Erkenntnis, dass die linke Seite der Gleichung von n abhängig gemacht werden müsste, weil eine Ermittlung von x,y,z ausschließlich von n abhängig ist, dass sich ausschließlich auf der rechten Seite befindet.]

2. Ich fasse den rechtsseitigen Term als auf und versuche so von n abhängig zu machen, dass gesetzt werden kann.

Was also muss an f_2(n) geändert werden damit gleichgesetzt werden kann?

also:

[Anmerkung: Dieses ist letztlich meine eigentliche Problembeschreibung, die Beschreibung des für mich eigentlich zu lösenden Problems, also die Konkretisierung allgemeinen Problemstellung in der Aufgabenformulierung. Ich meine, dass ich jetzt erst überhaupt in der Lage sein kann, die Lösung für dieses herausgearbeitete konkrete Problem finden zu können und dass ich damit dann auch zumindest eine Lösung für die allgemeine Problemstellung gefunden habe.]

3. Ich sage nun, dass die bis hierhin entwickelte Umformung in der Notation der allgemeinen Problemstellung auf jeden Fall zulässig ist (Äquivalenzumformungen sind nun einmal zulässig).
Ich sage weiter, dass, wenn diese Umformung zulässig ist, dann auch die allgemeine Problemstellung genau auf diese Weise notiert werden darf: (Äquivalent!).
Und ich begründe darauf meine Argumentation, dass, weil die so zulässig umgeformte Problemstellung auf die bereits in 1. gelöste Einzelfalllösung zurückgeführt werden kann, damit auch die Wahrheit der ursprünglichen Aussage gezeigt werden kann.

Weil also gilt:

Und weil gilt:

Und weil für in 1. bereits die Wahrheit dieser Aussage gezeigt worden ist, muss auch damit die Wahrheit der allgemeinen Problemstellung gezeigt worden sein.

Ist dies so zulässig?

Kennt jemand noch andere Herangehensweisen? Welche wären das?

Wie kann man sonst noch die Wahrheit der Aussage zeigen?

Gruß, Andre

PS: [Anmerkung noch einmal zur Zusammenfassung: Was ich jetzt also eigentlich gemacht habe, ist, dass ich die ursprüngliche Gleichung in der Aufgabenstellung umgeformt habe, so eine Reduzierbarkeit des n-behafteten Terms erkannt habe, diesen dann auf eine bereits zuvor erkannte Einzelfalllösung zurückgeführt habe und damit gezeigt habe, dass, wenn diese Einzelaussage wahr ist, damit auch die ursprüngliche Aussage wahr sein muss.

Entscheiden für dieses Vorgehen war aber für mich - meiner Meinung nach - die Erkenntnis der n-Abhängigkeit für die Lösungsmengenfindung. Wenn also die linke Seite ebenso von n abhängig gemacht wird wie die rechte Seite, dann müsste sich - so gedacht - hieraus sozusagen eine "automatische Anpassung" ergeben, welche die Suche nach weiteren Einzelfalllösungen überflüssig machen müsste. Dann erst habe ich gesehen, dass durch diese Umformung, welche äquivalent zur ursprünglichen Aufgabenstellung ist, sich diese dann auf die bereits gelöste Einzelfalllösung reduzieren lässt und sich damit zeigen lässt, dass es sich in der Gleichung der ursprünglichen Aufgabenstellung tatsächlich um eine wahre Aussage handelt.]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth
"Zeigen Sie, dass die Gleichung für jedes n = 1,2,3, ... ganzzahlige Lösungen hat."

Da würde ich ganz trocken antworten: ist eine solche ganzzahlige Lösung, und zwar für alle . Augenzwinkern

Sollte es nur um positiv ganzzahlige Lösungen gehen, dann solltest du das entsprechend vermerken.

Zitat:
Original von Ascareth
Weil also gilt:

Unfug: Aus folgt durch Potenzierung mit die Gleichung statt . unglücklich

Das Ansinnen, durch irgendwelche Taschenspieler-Umformtricks von zu mit denselben (!) zu kommen, ist für von vornherein zum Scheitern verurteilt. Ziemlich absurd zu glauben, dass das überhaupt klappen könnte. Erstaunt1
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Ascareth
"Zeigen Sie, dass die Gleichung für jedes n = 1,2,3, ... ganzzahlige Lösungen hat."

Da würde ich ganz trocken antworten: ist eine solche ganzzahlige Lösung, und zwar für alle . Augenzwinkern

Sollte es nur um positiv ganzzahlige Lösungen gehen, dann solltest du das entsprechend vermerken.


Die Aufgabe ist aus dem Buch "Wie man mathematisch denkt" (S. 51). Ich habe die Aufgabenstellung exakt so abgeschrieben ohne etwas wegzulassen. Jedenfalls steht dort nichts von "positiv ganzzahligen Lösungen" oder sonstiges. Ich habe extra noch einmal nachgeschlagen.
Aber mal davon ab. Dann sagst du also, hast du mit der Lösung x = y = z = 0 gezeigt, dass die Aussage wahr ist? Das ist alles?! Hammer



Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Ascareth
Weil also gilt:

Unfug: Aus folgt durch Potenzierung mit die Gleichung statt . unglücklich

Das Ansinnen, durch irgendwelche Taschenspieler-Umformtricks von zu mit denselben (!) zu kommen, ist für von vornherein zum Scheitern verurteilt. Ziemlich absurd zu glauben, dass das überhaupt klappen könnte. Erstaunt1


Vielleicht verstehe ich den Operator "zeigen" nicht richtig. Meinem Verständnis nach bedeutet dieser: Wenn ich nur eine einzige Lösung für x, y, z finde (natürlich für und nicht nur für ), dann gilt die Aufgabe als gelöst. Verstehe ich das richtig?

Ich dachte tatsächlich, wenn man äquivalent umformen kann, dass dies als "zeigen" gelte. Aber du es ja. Es handelt sich um die selben x,y,z, die ja nur für n = 2 eine wahre Aussage ergeben.

Gruß, Andre
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth
Ich dachte tatsächlich, wenn man äquivalent umformen kann, dass dies als "zeigen" gelte.

Aber genau dieses "äquivalente Umformen" hast du ja eben nicht getan, den gravierenden Umformungsfehler habe ich ja genannt:

Was hast du erwartet? Dass man durch die Hintertür zeigen kann? Mit ein klein wenig Nachdenken sollte doch klar sein, dass diese Gleichung für immer falsch ist.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja. Stimmt. Ist schon spät Big Laugh

Vielen Dank!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der bei dir gründlich misslungene Ansatz, aus der Existenz pythagoräischer Zahlentripel



auf die Existenz nicht trivialer Lösungen für



zu schließen, ist trotzdem zielführend. Multpliziere das pythagoräische Zahlentripel dazu mit einem geeigneten Faktor.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es, man muss sich dazu eben von diesem Ansinnen

Zitat:
Original von HAL 9000
mit denselben (!)

lösen.

Auch wenn Ascareth nicht klar dazu Stellung genommen hat, gehe ich davon aus, dass wir von nun an über positive Lösungstripel sprechen, damit es nicht ganz so trivial wird.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deshalb sprach ich oben von nicht trivialen Lösungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine interessante Lösungsschar ergibt sich, wenn das Tripel mit durch die "komplexe Zahlenbrille" betrachtet:

Es ist dann und folglich , folglich ist für jedes eine Lösung.

Unter den Voraussetzungen tauchen in diesen Tripel auch keine Nullen auf, was allerdings nicht ganz so trivial zu beweisen ist. Daher ist der von Huggy angedachte Weg die weitaus bequemere Variante, für alle positive Lösungstripel zu generieren.
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