Maß- und Integrationstheorie

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ababab Auf diesen Beitrag antworten »
Maß- und Integrationstheorie
Meine Frage:
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Meine Ideen:
Leider habe ich keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationstheorie
Die Borelmessbarkeit sollte doch kein Problem sein, da eine einfache Funktion (Treppenfunktion) ist, d.h. , die zudem nichtnegativ ist. Und für derartige Funktionen ist das Lebesgue-Integral ja definiert als

,

und Integralexistenz liegt genau dann vor, wenn die Reihe rechts konvergiert (d.h. endlicher Wert). Diese Reihenkonvergenz ist hier dann also für nachzuweisen, das sollte mit herkömmlichen Mitteln wie etwa dem Quotientenkriterium leicht möglich sein.
ababab Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie
Ich zeige also die Borel-messbarkeit, in dem ich sage, dass Treppenfunktionen mbar sind und die gegebene Funktion nicht-negativ ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ababab
Ich zeige also die Borel-messbarkeit, in dem ich sage, dass Treppenfunktionen mbar sind

Das solltest du kennengelernt haben, dass diese Art Funktionen messbar sind.

Zitat:
Original von ababab
und die gegebene Funktion nicht-negativ ist?

Das spielt erst für das Integral eine Rolle. Für die Messbarkeit wird das noch nicht benötigt.
ababab Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie
Zitat:
Original von HAL 9000
Die Borelmessbarkeit sollte doch kein Problem sein, da eine einfache Funktion ist (Treppenfunktion) ist,


Ich habe da noch eine Frage. Eine einfache Funktion nimmt nur endliche Werte an, oder? Die Funktion g nimmt jedoch unendlich viele Werte an.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja, da war ich in der Tat etwas schlampig: Ich war der irrigen Annahme, dass bei einfachen Funktionen auch abzählbar viele Werte zugelassen sind - aber du hast Recht, es sind nur endlich viele. Deshalb bedarf es tatsächlich des Zwischenschritts einer Folge einfacher Funktionen, deren Supremum dein ist. Eine solche Folge ist natürlich leicht gefunden, z.B.

.

Offenkundig gilt . Dann haben wir

sowie gemäß Lebesgueintegral-Definition.
 
 
ababab Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
sowie gemäß Lebesgueintegral-Definition.


Soll ich hier Beppo Levi anwenden? Ich muss dann nur noch zeigen, dass die Folge messbarer Funktionen monoton fallend gegen eine messbare Funktion konvergiert, oder?
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