Umformung in Summe

14.09.2018, 11:49	Juli2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung in Summe Meine Frage: Folgende Summe wird umgeformt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n \frac{2(k-1)}{k(k+1} \end{eqnarray}$ und ergibt $\begin{eqnarray} =2\sum_{k=2}^n [\frac{2}{k+1}-\frac{1}{k}] \end{eqnarray}$ Wie ist diese Umformung zustande gekommen? Meine Ideen: Meine Rechmuing: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n \frac{2(k-1)}{k(k+1)}=\sum_{k=2}^n \frac{2k-2}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=2}^n \frac{2k}{k(k+1)}-\frac{2}{k(k+1)}=\sum_{k=2}^n \frac{2}{k+1}-\frac{2}{k(k+1)}=2\sum_{k=2}^n \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ Weiter komme ich leider nicht.
14.09.2018, 12:30	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung in Summe Du hast richtig umgeformt. Dennoch kommt nun am Ende noch das Stichwort "Partialbruchzerlegung" ins Spiel. D. h. Du mußt den Term $\begin{eqnarray} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ noch als Summe 2er Brüche schreiben. Hier ist es außerdem wichtig, Klammern zu setzen um alles, was im Inneren der Summe steht. $\begin{eqnarray} =\sum_{k=2}^n \left[\frac{2k}{k(k+1)}-\frac{2}{k(k+1)} \right] =\sum_{k=2}^n \left[\frac{2}{k+1}-\frac{2}{k(k+1)}\right] =2\sum_{k=2}^n \left[\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k(k+1)}\right] \end{eqnarray}$
14.09.2018, 12:45	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung in Summe Alternativ kann man auch so umformen: $\begin{eqnarray} \frac{2(k-1)}{k(k+1)} = \frac{4k-2k-2}{k(k+1)} = \frac{4k}{k(k+1)} - \frac{2k+2}{k(k+1)} \end{eqnarray}$
14.09.2018, 13:04	Juli2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Hab es verstanden. Hier meine Rechnung: $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{A\cdot (k+1)+B\cdot k}{k^2+k}\Rightarrow (A+B)k+A =^! 2k -2 \rightarrow A=-2 \wedge B=4 \end{eqnarray}$ Und damit: $\begin{eqnarray} \frac{-2(k+1)+4k}{k(k+1)}=\frac{4}{k+1}-\frac{2}{k} \end{eqnarray}$ Und dann in die Summe eingesetzt und die 2 rausgezogen.
14.09.2018, 13:16	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »

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