W'dichte von Zufallsvektoren/ Unabhängigkeit zeigen

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capo84 Auf diesen Beitrag antworten »
W'dichte von Zufallsvektoren/ Unabhängigkeit zeigen
Guten Tag liebe Community!

Ich sitze gerade daran einen Beweis aus Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik von Herold Dehling und Beate Haupt nachzuvollziehen. Es handelt sich um den Beweis von Satz 11.16. Darin wird die Aussage getroffen:

Sind unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann sind auch die Zufallsvariablen und unabhängig.

Die Aussage fällt dabei so nebensächlich, dass ich vermute, dass es eine einfach Argumentation für sie gibt. Mir will jedoch keine einfallen. Es klingt natürlich naheliegend, weil die beiden Zufallsvariablen aus voneinander unabhängigen ZV gebastelt wurden, aber ob das bereits ausreicht? Ich wollte nun erstmal eine einfachere Aussage zeigen und zwar, dass und unabhängig sind für .
Eine Möglichkeit die Unabhängigkeit zu überprüfen ist zu zeigen, dass die gemeinsame Dichte der Produktdichte der beiden Dichten entspricht. Die Produktdichte zu ermitteln stellt kein Problem dar, da standardnormalverteilt ist und -verteilt ist. Doch wie erhalte ich die gemeinsame Dichte der beiden Zufallsvariablen? Oder macht ein anderer Ansatz mehr Sinn?

MfG



HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von capo84
Es klingt natürlich naheliegend, weil die beiden Zufallsvariablen aus voneinander unabhängigen ZV gebastelt wurden, aber ob das bereits ausreicht?

Ja, es reicht tatsächlich aus.


Salopp gesprochen gilt folgende sehr viel allgemeinere Eigenschaft:

Bildet man aus einer Menge von unabhängigen Zufallsgrößen neue Zufallsgrößen (als Funktionen der alten), dann sind diese neuen Zufallsgrößen auch unabhängig, sofern es nicht zwei der neuen Zufallsgrößen gibt, wo ein- und dieselbe alte Zufallsgröße eingeht.


1) Auf dein Beispiel bezogen trifft das zu: ist nur eine Funktion von , und damit nicht von abhängig, und bei liegt keine funktionale Abhängigkeit von vor.


2) Bei und stimmt das hingegen nicht: Beide hängen von ab, hier wäre die o.g. Bedingung also verletzt, damit liegt nicht notwendig Unabhängigkeit vor (man kann ohne weitere Untersuchung aber auch nicht behaupten, dass nun tatsächlich Abhängigkeit vorliegt).


Beweisen kann man das ganze durch Betrachtung der zu den Zufallsgrößen gehörenden Urbild-Sigmaalgebren - ein solcher Beweis ist eine wahrer Indexkrieg ohne große inhaltliche Substanz.
capo84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Bildet man aus einer Menge von unabhängigen Zufallsgrößen neue Zufallsgrößen (als Funktionen der alten), dann sind diese neuen Zufallsgrößen auch unabhängig, sofern es nicht zwei der neuen Zufallsgrößen gibt, wo ein- und dieselbe alte Zufallsgröße eingeht.


Danke, dann kann ich mir weiteres Grübeln in die Richtung sparen. Ich habe die Aussage in dem von mir genannten Buch unter Bemerkung 6.13 (iv.) gefunden. Die zeigen aber nur eine einfachere Version und verweisen für die von dir getroffene mächtigere Aussage, die ich ja auch benötige, auf die Maßtheorie.
Alternativ habe ich eine Idee gehabt, wie man mit dem schwächeren Satz vorgehen könnte, der nur Funktionen von nach zulässt. Man könnte einen Induktionsbeweis für die Summe führen, indem man die Faltungsformel verwendet. Das ist mir allerdings gerade zu viel des Guten.

LG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von capo84
und verweisen für die von dir getroffene mächtigere Aussage, die ich ja auch benötige, auf die Maßtheorie.

Richtig, meine Anmerkung zu den Urbild-Sigmaalgebren geht ja genau in die Richtung.
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