Geradengleichung

14.09.2018, 20:04

Berti

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Geradengleichung

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem das ich nicht lösen kann. Vielleicht kann mir jemand helfen.

ich habe 2 Punkte, P1 und P2 die Logarithmisch 250 mm von einander aufgetragen sind.

x1= e^1
y1= 0

x2=e^10
y2=250

mit Hilfe der Geradengleichung für P1(e^1/0) und P2(e^10/250) habe ich die folgende Gleichung ermittelt y=250*log(ln(x)). Für jeden Wert kann ich den zugehörigen Punkt bestimmen. Soweit kein Problem.

Ich habe für x1 = e^1 den \delta x1 bestimmt. \delta x1 = ((e^1)^10^(0,0004))-e^1=0,00250594

Für x2 = e^10 den \delta x2 bestimmt. \delta x2 = ((e^10)^10^(0,0004))-e^10=203,90

Nun habe ich wieder 2 Punkte, P1(\delta x1/0) und P2(\delta x2/250)

Geradengleichung für die Punkte P1(0,00252594/0) und P2(203,90/250)
dies soll genau so wie oben Logarithmisch aufgetragen werden.

Nun möchte ich die anderen Punkte x für die \delta x bestimmen.
0,00250594 1.Punkt
0,1
1
10
100
203,90 2. Punkt

Werte da zwischen sollen auch aufgetragen werden, Aber wie Lautet die Geradengleichung.

Frage ist bei welcher Entfernung y werden die anderen \delta x werte aufgetragen.

Meine Ideen:
habe keine Ideen......

17.09.2018, 11:44

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Logarithmiere die beiden äußeren x-Werte, stelle die Geradengleichung auf, setze die Logarithmen der dazwischenliegenden Punkte ein.

Viele Grüße
Steffen

17.09.2018, 20:33

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

vielen dank für die Hilfe. Leider kommen andere Werte raus, als was kommen soll.
Ich Versuche das Problem genauer zu beschreiben.

Ich habe $\begin{eqnarray*} e^{1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} e^{10} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Geradengleichung Logarithmisch aufgetragen. $\begin{eqnarray*} y=250*log(ln(e^{x})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{1}=0 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{2}=75,26 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{3}=119,28 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{4}=150,51 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{5}=174,74 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{6}=194,54 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{7}=211,27 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{8}=225,77 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{9}=238,56 mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{10}=250 mm \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun habe ich für jede $\begin{eqnarray*} e^{1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} e^{10} \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} (e^{x})^{10^{0,0004} }-e^{x} \end{eqnarray*}$ berechnet.

$\begin{eqnarray*} e^{1}=0 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,00250593 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{2}=75,26 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,01363 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{3}=119,28 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,0556 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{4}=150,51 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,2016 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{5}=174,74 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,6854 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{6}=194,54 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 2,237 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{7}=211,27 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 7,096 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{8}=225,77 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 22,056 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{9}=238,56 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x =67,479 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{10}=250 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x =203,90 \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ gegen Strecke auftragen.
Ich habe für P1(log(0,00250594/0) und P2(log(203,9)/250) die Geradengleichung berechnet.

$\begin{eqnarray*} y=50,9119x+132,42 \end{eqnarray*}$

Nun zum Problem wenn ich z.B für $\begin{eqnarray*} \Delta x =0,0556 \end{eqnarray*}$ die strecke berechne, müsste der Punkt bei 119,28 mm liegen.
Stattdessen wenn ich die Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=50,9119x+132,42 \end{eqnarray*}$ benutze kommt 68,53 mm.

$\begin{eqnarray*} y=50,9119*log(0,0556)+132,42= 68,53 mm \end{eqnarray*}$
Es soll aber 119,28 mm sein, weil $\begin{eqnarray*} e^{3}=119,28 mm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Delta x = 0,0556 \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler.

Gruß

18.09.2018, 10:15

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Ich fürchte, Du hast Dich in der logarithmischen Welt etwas verlaufen. Hier ist die von Dir anscheinend gewünschte Kurve sowie die Gerade, die die Endpunkte verbindet:

Das muss schon mal Differenzen geben, zumal Du auch noch beim Rechnen verzweifelt einen weiteren Logarithmus bildest, der dann endgültig alles verfälscht.

Aber schon die Formel $\begin{eqnarray*} (e^{x})^{10^{0,0004} }-e^{x} \end{eqnarray*}$ erscheint gruselig. Ich hab das Gefühl, Du willst etwas ganz anderes. Aber was? Gibt es irgendeine ursprüngliche Aufgabe oder Zielsetzung?

18.09.2018, 10:41

HAL 9000

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Die hier ständig anzutreffenden doppelten/dreifachen/... Logarithmen bzw. Potenztürme bringen m.E. nur Chaos und Verwirrung in den Sachverhalt. Ich sehe die Sache so: Anscheinend sind die vorliegenden Daten

$\begin{eqnarray*} x_1=1,y_1=0~mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=2,y_2=75.26~mm \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} x_{10}=10,y_{10}=250~mm \end{eqnarray*}$

(riecht stark nach der Vermessung eines klassischen Rechenstabes). Trägt man die Daten auf einem einfach logarithmischen Papier ab (x-Achse logarithmiert, y-Achse normal), dann repräsentiert eine Gerade auf diesem Papier einen funktionalen Zusammenhang der Form $\begin{eqnarray*} y=a\log_c(x)+b \end{eqnarray*}$ , wobei Basis c>1 noch festzulegen ist, hier bietet sich $\begin{eqnarray*} c=10 \end{eqnarray*}$ an, also der dekadische Logarithmus $\begin{eqnarray*} \log_{10}(x)=\lg(x) \end{eqnarray*}$ .

Aus den Endpunkten $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (x_{10},y_{10}) \end{eqnarray*}$ allein ergibt sich $\begin{eqnarray*} a=250 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y=f(x)=250\lg(x) \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du für deine Zwischendaten natürlich gern die "Messabweichungen"

$\begin{eqnarray*} \Delta y_k = y_k-f(x_k) = y_k-250\lg(x_k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,10 \end{eqnarray*}$

berechnen, oder was sonst du hier noch tun willst.

P.S.: Mir zumindest ist völlig rätselhaft, was es mit dem $\begin{eqnarray*} 10^{0.0004} \end{eqnarray*}$ im Exponenten für eine Bewandnis hat: Da fällt irgendwie vom Himmel, und dann wird dubios damit herumgerechnet. Erstaunt1

Erstaunt1

18.09.2018, 22:12

Berti

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Geradengleichung
Hallo,

ich versuche mal zusammenzufassen. Es geht hier darum 2 Skalen gegenüber zustellen.

Strecke 250 mm $\begin{eqnarray*} 0..........90,5.......165,8........209,8...241,1......250 mm \end{eqnarray*}$

1. Skala $\begin{eqnarray*} e^{1-10}=x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2,718........10.....100..........1000....10000....22026 \end{eqnarray*}$
2. Skala $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0,0025....0,021...0,425....6,39......82,2.....203,9 \end{eqnarray*}$

1. Skala ich nenne Skala $\begin{eqnarray*} e^{1-10} \end{eqnarray*}$ einfach x

x= 2,718( $\begin{eqnarray*} e^{1} \end{eqnarray*}$ )........10.....100..........1000....10000....22026( $\begin{eqnarray*} e^{10} \end{eqnarray*}$ )
y=250*log(ln(x)) somit kann ich die Strecken in mm für x berechnen. Sie bitte oben.

Nun wurden für x-Werte die $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ berechnet. Siehe 2. Skala
Der $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ wurde so berechnet: $\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{\frac{0,1}{250}}}-x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$

Fehler 0,1 mm/250 =0,0004

Durch Einsetzen der x werte in die Formel wurden $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ werte berechnet. Siehe 2. Skala.

Wenn ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{\frac{0,1}{250}}}-x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$ nach x auflösen könnte, wäre das Problem gelöst, und die 2. Skala könnte erstellt werden. Wenn ich die x werte kenne, kann ich $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ berechnen und die 2. Skala erstellen.
Angenommen ich möchte beliebige $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ werte in die 2. Skala einsetzen, von dem ich den x wert nicht kenne, daher kann ich die Strecke mm für $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen.

Daher wollte ich einen anderen Weg nehmen:

Ich wollte für $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ eine Geradengleichung erstellen, um die Strecke für belibiege $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

P1(0,0025/0) und P2(203,9/250) nun hatte ich ja die Geradengleichung bestimmt, y=50,90119*log( $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ )+132,448

x=1000 daher $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =6,39 beide liegen auf 209,83 mm

Das Problem ist: y=50,90119*log(6,39)+132,448= 173,45 mm. Es müsste wie unten 209,83 mm (Siehe ganz oben) sein

Da aber von x=1000 der $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =6,39 ist, müsste die Strecke y in mm für x=1000 und $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =6,39 die Stecke 209,83 mm sein.

Genau hier habe ich Probleme. Wie kann ich die $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ werte in die 2. Skala einsetzen, ohne die zugehörige x werte zu kennen.

Gruß

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19.09.2018, 08:37

HAL 9000

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RE: Geradengleichung
Du redest viel, und das meiste davon stellt sich für mich leider verworren dar.

Zitat:

Original von Berti
Wenn ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{\frac{0,1}{250}}}-x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$ nach x auflösen könnte, wäre das Problem gelöst, und die 2. Skala könnte erstellt werden.

Ok, das würde ich mal so deuten, als ginge es dir um eine Darstellung (oder zumindest gute Näherung) der Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{10^{\frac{0,1}{250}}}-x \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} e^1\leq x\leq e^{10} \end{eqnarray*}$ .

Während das hier

Zitat:

Original von Berti
Angenommen ich möchte beliebige $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ werte in die 2. Skala einsetzen, von dem ich den x wert nicht kenne, daher kann ich die Strecke mm für $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen.

für mich unverständliches Zeug darstellt: Wenn du den $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ -Wert kennst (du willst ihn ja irgendwo einsetzen), wieso kannst du dann den $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ - Wert nicht bestimmen??? Ich denke du gehst von ihm aus, dann kennst du ihn doch schon? Erstaunt1

Erstaunt1

Oder hast du dich im letzten Halbsatz verschrieben und meinst in Wahrheit

Zitat:

daher kann ich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen.

verwirrt

---------------------------------------------------------------------------------------

Was das reine Problem der Umkehrfunktion betrifft:

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha:=10^{0.0004}-1 \approx 9.2146\cdot 10^{-4} \end{eqnarray*}$ , dann hat man für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\alpha\ln(x)| \ll 1 \end{eqnarray*}$ die leidlich gute Approximation

$\begin{eqnarray*} \Delta x = f(x) = x\left(x^{\alpha}-1\right) = x\left(\exp(\alpha\ln(x))-1\right) \approx \alpha x\ln(x) = \alpha ze^z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z:=\ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Letzteres lässt sich mit der LambertW-Funktion auflösen, so dass das daraus resultierende

$\begin{eqnarray*} x = f^{-1}(\Delta x) \approx \exp\left( W\left( \frac{\Delta x}{\alpha}\right) \right) \end{eqnarray*}$

eine (zumindest für nicht allzu große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) ganz gute Approximation darstellen würde.

19.09.2018, 12:11

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

ich meinte folgendes:

wenn ich den x-Wert kenne $\begin{eqnarray*} x= e^{1-10} oder 2,718-22026 \end{eqnarray*}$
Die 1. Skala fängt bei 2,718 an und endet bei 22026
mit dieser Gleichung Rechne ich die zugehörige Strecke für die 1. Skala $\begin{eqnarray*} y=250*log(ln(x)) \end{eqnarray*}$

Nun zur 2. Skala

Die 2. Skala fängt bei $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =0,0025 an und endet bei $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =203,9

Ich kann den $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ nur berechnen wenn ich die x-Werte kenne.
Ich kann belibiege Zahlen aus der 1. Skala zwischen $\begin{eqnarray*} x= e^{1-10} oder 2,718-22026 \end{eqnarray*}$ entnehmen und mit der Gleichung unten $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ berechnen.

Mit Hilfe dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$ lässt sich $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich möchte aber die $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ Werte, nicht aus den x-Werte ermittelten $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ Werte entnehmen, sondern selber frei nehmen und in die 2. Skala mit der dazugehörende Strecke einsetzen.

Für Folgende $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ werte sollen die Strecke ermittelt werden um in die 2. Skala einzusetzen.

0,002
0,01
0,1
1
10
100

Da ich die 1. und 2. Punkt für die Geradengleichung festgelegt habe:

P1(0,0025/0) und P2(203,9/250)

y=50,90119*log( $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ )+132,448
Die Gleichung Funktioniert nicht.

Hier meinte ich: $\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$

Wenn ich nach x lösen könnte wäre das Problem gelöst, meinte ich aufgelöst nach x wäre, einsetzen der $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ werte in die nach x gelöste Gleichung, somit habe ich x gefunden und aus x, kann ich mit $\begin{eqnarray*} y=250*log(ln(x)) \end{eqnarray*}$
die Strecke für x somit für $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ berechnen.

Über Solver geht das:

$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =0,002 bei ? mm
$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =0,01 bei ? mm
$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =0,1 bei ?mm
$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =1 bei ?mm
$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =10 bei ?mm
$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =100 bei ?mm

$\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$

z.B $\begin{eqnarray*} 10=x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt nun x kenne, muss ich einfach in die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=250*log(ln(x)) \end{eqnarray*}$ einsetzen, nun weiss ich dann bei welcher Strecke ich $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =10
auftragen muss.

Gibt es ein Verfahren $\begin{eqnarray*} \Delta x=x^{10^{0,0004}}-x \end{eqnarray*}$ nach x umzustellen ?????

19.09.2018, 13:06

HAL 9000

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Oben redest du die ganze Zeit von $\begin{eqnarray*} \Delta x = x^{10^{0.004}}-x \end{eqnarray*}$ , jetzt aber von $\begin{eqnarray*} \Delta x = x^{10x^{0.004}}-x \end{eqnarray*}$ . Melde dich mal wieder, wenn du dir im klaren bist, was du wirklich willst. unglücklich

unglücklich

P.S.: Zum erstgenannten Problem hatte ich bezüglich der Umkehrung eine Antwort gegeben, die du aber geflissentlich ignorierst. Man kann natürlich das dortige Ergebnis

$\begin{eqnarray*} x = f^{-1}(\Delta x) \approx \exp\left( W\left( \frac{\Delta x}{\alpha}\right) \right) \end{eqnarray*}$

via $\begin{eqnarray*} y = 250\lg(\ln(x)) \end{eqnarray*}$ auch auf deine "Rechenstabskala" umrechnen, also letztlich $\begin{eqnarray*} y \approx 250\lg\left( W\left( \frac{\Delta x}{\alpha}\right) \right) =: h(\Delta x) \end{eqnarray*}$ .

Damit ergeben sich etwa

$\begin{eqnarray*} h(0.002) &\approx& -12.57\\ h(0.01) &\approx& 63.69\\ h(0.1) &\approx& 134.42\\ h(1) &\approx& 181.44\\ h(10) &\approx& 215.89\\ h(100) &\approx& 242.80 \end{eqnarray*}$ .

19.09.2018, 14:06

Berti

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Geradengleichung
Hallo,

es sollte $\begin{eqnarray*} x^{10^{0,0004} }-x \end{eqnarray*}$ sein habe beim kopieren fehler gemacht.

Können Sie mir bitte Sagen was ich für W und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einsetzen soll.

Gruß

19.09.2018, 14:21

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Oje. Bevor HAL diese Frage liest, zitiere ich ihn lieber gleich:

Zitat:

Original von HAL 9000
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha:=10^{0.0004}-1 \approx 9.2146\cdot 10^{-4} \end{eqnarray*}$ , dann hat man für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\alpha\ln(x)| \ll 1 \end{eqnarray*}$ die leidlich gute Approximation

$\begin{eqnarray*} \Delta x = f(x) = x\left(x^{\alpha}-1\right) = x\left(\exp(\alpha\ln(x))-1\right) \approx \alpha x\ln(x) = \alpha ze^z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z:=\ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Letzteres lässt sich mit der LambertW-Funktion auflösen, so dass das daraus resultierende

$\begin{eqnarray*} x = f^{-1}(\Delta x) \approx \exp\left( W\left( \frac{\Delta x}{\alpha}\right) \right) \end{eqnarray*}$

eine (zumindest für nicht allzu große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) ganz gute Approximation darstellen würde.

Jetzt klarer?

Viele Grüße
Steffen

19.09.2018, 14:34

HAL 9000

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RE: Geradengleichung

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Oje. Bevor HAL diese Frage liest

Vielleicht sollte ich meine Beiträge um "Summaries" ergänzen, wo in wenigen Zeilen nochmal die wesentlichen Ergebnisse stehen - vielleicht werden die dann wenigstens gelesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sowas würde ich mir dann aber auch vom Threadersteller wünschen, denn da musste ich mich auch durch zig Zeilen kämpfen, bis ich langsam erahnen konnte, was gemeint war.

19.09.2018, 22:11

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo an alle,

W-soll die Umkehrfunktion sein.

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x(x^{a}-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ = ?

$\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ =auch bekannt
$\begin{eqnarray*} \alpha =0,00092146 \end{eqnarray*}$
W= ?

Soll der Wert der Umkehrfunktion in die Gleichung kommen wo W ist.

Ich konnte die Umkehrfunktion nicht bilden.

Gruß

19.09.2018, 22:23

HAL 9000

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Es ist jetzt mehrfach gesagt worden, dass mit $\begin{eqnarray*} W(\ldots) \end{eqnarray*}$ die Lambertsche W-Funktion gemeint ist. Wenn du an der Stelle einen Einwand vorbringen kannst, dann vielleicht den, dass die bei dir nicht verfügbar ist. Für andere Einwände fehlt mir so langsam das Verständnis - vielleicht bringt ein anderer mehr Geduld auf. verwirrt

verwirrt

P.S.: Sogar der Boardplotter kennt sie:

20.09.2018, 21:01

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

ich habe immer noch nicht verstanden wie man von $\begin{eqnarray*} \Delta x=f(x)=x(x^{a}-1)=x(exp(\alpha *ln(x))-1)=\alpha x ln(x) \end{eqnarray*}$ mit der Lambert W-Funktion nach x aufzulösen.

$\begin{eqnarray*} x=f^{-1}*\Delta x=e^{W(\frac{\Delta x}{\alpha })} \end{eqnarray*}$

oder via $\begin{eqnarray*} y=250*lg(ln(x)) \end{eqnarray*}$ umzurechnen auf $\begin{eqnarray*} y=250*lg({W(\frac{\Delta x}{\alpha }))} \end{eqnarray*}$

Für einen Mathematiker ist es Vielleicht einfach, aber für einen Normalen Mensch wie ich, ist Vielleicht Verständlicher die Werte in die Gleichung einzusetzen um den Sachverhalt besser zu Verstehen.

Angenommen ich möchte von $\begin{eqnarray*} \Delta x= 10 \end{eqnarray*}$ , x und y berechnen.

$\begin{eqnarray*} x=e^{W(\frac{10}{0,00092146 })} \end{eqnarray*}$ =1481,47 und $\begin{eqnarray*} y=250*lg({W(\frac{10}{0,00092146 }))} \end{eqnarray*}$ =215,89 mm

Vielleicht Verstehe ich das Besser, wenn man die Restlichen Werte in die Gleichungen einsetzt, ich habe immer noch nicht verstanden, was ich für W einsetzen soll.

php:
1:	Es ist jetzt mehrfach gesagt worden, dass mit W(…) die Lambertsche W-Funktion gemeint ist.

An der Skizze kann ich sehen das Lambert W = 2,71828 ist oder ????.

Können Sie mir andhand des Bsp. $\begin{eqnarray*} \Delta x= 10 \end{eqnarray*}$ an den Gleichungen zeigen wie ich auf die x und y (Strecke) Werte komme. Vielen Dank

20.09.2018, 21:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Berti
Für einen Mathematiker ist es Vielleicht einfach, aber für einen Normalen Mensch wie ich, ist Vielleicht Verständlicher die Werte in die Gleichung einzusetzen um den Sachverhalt besser zu Verstehen.

Eine Ausrede, die ich nicht akzeptiere: Mathematiker entwickeln die Formeln (habe ich oben gemacht), und "Normale Menschen" mit halbwegs mathematischer Schulbildung sollten dann wenigstens Werte in diese Gleichung einsetzen können, ohne gleich rumzujammern "bin doch kein Mathematiker". unglücklich

unglücklich

Nehmen wir dein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \Delta x = 10 \end{eqnarray*}$ und zugehörig eben einfach einsetzen

$\begin{eqnarray*} y\approx 250\cdot \lg\left( W\left( \frac{10}{0,00092146} \right) \right) = 250\cdot \lg\left( W\left( 10852.4 \right) \right) = 250\cdot \lg(7.30375) = 250\cdot 0.863546 = 215.89 \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, die einzige evtl. Schwierigkeit sollte allenfalls die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} W\left( 10852.4 \right) \end{eqnarray*}$ , z.B. per CAS oder eben spezieller Bibliotheken.

21.09.2018, 08:21

Berti

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Geradengleichung
Hallo,

soweit alles Verstanden.

$\begin{eqnarray*} x=e^{6,73*10^{-4}(\frac{10}{0,00092146 })} \end{eqnarray*}$ =1485,67 und $\begin{eqnarray*} y=250*lg({6,73*10^{-4} (\frac{10}{0,00092146 }))} \end{eqnarray*}$ =215,89 mm

Das Grösste Rätsel ist wie kommt der Wert $\begin{eqnarray*} 6,73*10^{-4} \end{eqnarray*}$ für W zustande.

21.09.2018, 08:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Berti
Das Grösste Rätsel ist wie kommt der Wert $\begin{eqnarray*} 6,73*10^{-4} \end{eqnarray*}$ für W zustande.

Was redest du denn da wieder für einen Unsinn??? Was in der Berechnungszeile vorkommt, ist der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ (das ist die Lambertsche W-Funktion) an der Stelle 10852.4, und das ist $\begin{eqnarray*} W(10852.4) = 7.30375 \end{eqnarray*}$ . Auch wenn du vielleicht Schwierigkeiten hast, mit den dir zur Verfügung stehenden Mitteln dies auszurechnen (darüber hast du bisher kein Wort verlauten lassen, obwohl ich diesen Punkt wiederholt angesprochen habe - bist immer ausgewichen bzw. woanders "abgebogen" unglücklich

unglücklich

), so kannst du doch zumindest dafür die Probe machen: Es ist $\begin{eqnarray*} 7.30375\cdot e^{7.30375} \approx 10852.4 \end{eqnarray*}$ , wie es ja sein muss, da $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ als Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} z\mapsto z\cdot e^z \end{eqnarray*}$ definiert ist.

EDIT: Ach jetzt verstehe ich erst - du interpretierst $\begin{eqnarray*} W(10852.4) = 7.30375 \end{eqnarray*}$ falscherweise als Produkt $\begin{eqnarray*} W\cdot (10852.4) = 7.30375 \end{eqnarray*}$ . Finger1

Finger1

Und das obwohl zigmal drauf hingewiesen wurde, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ um eine Funktion handelt - das ist wirklich eine überlange Leitung. unglücklich

unglücklich

21.09.2018, 10:16

Berti

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Geradengleichung
Hallo,

OK soweit so gut. An der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta x}{\alpha }=\frac{10}{0,00092146}=10852,4 \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert $\begin{eqnarray*} W (10852,4)=7,30375 =Ln(x) \end{eqnarray*}$

Das heisst für $\begin{eqnarray*} y= 250*log(ln(x)) = 250*log(W(\frac{\Delta x}{\alpha } )) \end{eqnarray*}$

und an der Stelle $\begin{eqnarray*} W(\frac{\Delta x}{\alpha })=10852,4 \end{eqnarray*}$ wurde Ln(x)=7,30375 bestimmt.

Das bedeutet $\begin{eqnarray*} ln(x)*e^{Ln(x)} =10852,4 \end{eqnarray*}$

Somit ln(x)=7,30375 und x =1485,67

Soweit alles Verstanden, nun bleibt wie bestimmen Sie den Funktionswert- W an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{10}{0,00092146} =10852,4 \end{eqnarray*}$ den Ln(x) = 7,30375

Vor allem Wie Lautet die Funktion W , wo der Funktionswert von W an der Stelle 10852,4 rechnerisch ermittelt wurde.

Gruß

21.09.2018, 10:30

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Auch da hilft der Wiki-Link:

Zitat:

Eine Näherung von $\begin{eqnarray*} W_{0}(x) \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} W_{0}(x)\approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\frac {\ln(\ln(x))}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

21.09.2018, 11:05

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

$\begin{eqnarray*} W(x)=Ln(10852,4)-Ln(Ln(10852,4)+\frac{Ln(Ln(10852,4))}{Ln(10852,4)} =7,30375 \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

Freude

Freude

Viele Grüße

30.09.2018, 18:29

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

bei grossen x funktioniert es, aber bei kleinen x $\begin{eqnarray*} W_{0}(x) \end{eqnarray*}$ geht garnicht.

Wie konnte $\begin{eqnarray*} W_{0}(x) \end{eqnarray*}$ fur kleinen x aussehen.

Gruss

01.10.2018, 09:17

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Hast Du die Wiki-Seite eigentlich überhaupt mal angeschaut?
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsch...sche_Berechnung

01.10.2018, 13:25

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

habe es durchgelesen:

Eine Näherung von W 0 ( x ) für große x ist, $\begin{eqnarray*} W_{0}(x)=Ln(x)-Ln(Ln(x))+\frac{Ln(Ln(x))}{Ln(x)} \end{eqnarray*}$

Eine Näherung von W -1 ( x ) für kleine x ist, $\begin{eqnarray*} W_{-1}(x)= ???? \end{eqnarray*}$

Gruß

01.10.2018, 13:45

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Wofür brauchst Du nun plötzlich $\begin{eqnarray*} W_{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ? Für Deine Zwecke reicht es doch, $\begin{eqnarray*} W_0(x) \end{eqnarray*}$ für kleine x berechnen zu können. Und den Link auf die Rekursionsformel hast Du. Die Taylorreihe steht etwas drüber, sogar mit dem Polynomanfang. Und Newton wird auch erklärt, mit dem könntest Du sogar $\begin{eqnarray*} W_{-1}(x) \end{eqnarray*}$ berechnen. Such Dir was aus.

03.10.2018, 16:54

Berti

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RE: Geradengleichung
Hallo,

beim $\begin{eqnarray*} W_{0}(x)=Ln(x)-Ln(ln(x))+\frac{Ln(Ln(x))}{Ln(x)} \end{eqnarray*}$

wenn x größer 1 ist, funktioniert die Gleichung. Bei x kleiner 1 versagt die Gleichung.
Weil für negative Werte kein LN berechnet werden kann.

Daher habe aus der Skizze in WIKI, aus dem unteren Ast $\begin{eqnarray*} W_{-1}(x)=???? \end{eqnarray*}$ gelesen,
daher dachte ich, man muss für x kleiner 1 $\begin{eqnarray*} W_{-1}(x)=???? \end{eqnarray*}$ benutzen, Liege ich da falsch.

Gruß

03.10.2018, 18:14

Steffen Bühler

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Liegst Du. Für positive x ist nur W0 zuständig. Für große x die Formel, die Du genannt hast, für kleine dann am besten das Taylorpolynom.

Für negative x gibt es aber zwei Lösungen! Das siehst Du ja im Graphen. Falls Du das mal berechnen willst (brauchst Du hier aber nicht), nimm Newton mit einem entsprechenden Startwert.

05.10.2018, 14:47

Berti

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Geradengleichung
Hallo,

ich habe eine Excel Datei eingefügt um das Problem besser darzustellen.

Viele Grüße

05.10.2018, 15:06

Steffen Bühler

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RE: Geradengleichung
Wie ich schon sagte: such Dir was aus. Spendier hier entweder noch mehr Glieder für die Taylorreihe, oder nimm gleich die Rekursion. Wie die in Excel geht, kannst Du im Anhang sehen.

05.10.2018, 15:20

HAL 9000

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Ich hab auch mal ein bisschen gebastelt, was man als hinreichend guten, aber auch nicht zu kompliziert zu berechnenden Startwert der Newton-Iteration

$\begin{eqnarray*} t_{n+1} = t_n-\frac{t_n\exp(t_n)-x}{(t_n+1)\exp(t_n)} = t_n-\frac{t_n-x\exp(-t_n)}{t_n+1}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

wählen könnte:

$\begin{eqnarray*} t_0 = \begin{cases} x-\frac{x^2}{2} &\;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1\\ \frac{1+\ln(x)}{2} &\;\mbox{für}\; 1<x\leq 9\\ \ln(x)-\ln(\ln(x)) + \frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)} &\;\mbox{für}\; x>9\end{cases} \end{eqnarray*}$

Und dann ca. drei Schritte (*), d.h. $\begin{eqnarray*} W_0(x)\approx t_3 \end{eqnarray*}$ , das sieht dann schon ganz gut aus im gesamten Bereich $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

06.10.2018, 21:50

Berti

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Geradengleichung
Hallo an alle,

die Excel datei habe ich garnicht verstanden was da gerechnet wird.
Zum Newtonverfahren habe ich noch eine Frage.

Angenommen:

$\begin{eqnarray*} \Delta x=0,0008 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 0,000921458 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{0}(\frac{\Delta x}{\alpha }) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W_{0}(\frac{0,0008}{0,000921458})=0,8682 \end{eqnarray*}$

Da x=0,8682 zwischen $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Nehme ich für $\begin{eqnarray*} tn=x-\frac{x^{2}}{2} \end{eqnarray*}$ somit, $\begin{eqnarray*} tn=0,8682-\frac{0,8682^{2}}{2} =0,4913 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,8682 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tn=0,4913 \end{eqnarray*}$

Und setze diese x und tn in die Iterationsformel.
In welchen Intervall x ist nehme ich den zugehörigen tn.
---------------------------------------------------------------------------------------
Zum verständniss:

aus $\begin{eqnarray*} (\frac{\Delta x}{\alpha })=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq x\leq 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq 9 \end{eqnarray*}$ ist die 9 ein tippfehler ???

-----------------------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} Wert=exp(W(\frac{\Delta x}{\alpha})=1,6776 \end{eqnarray*}$ müsste rauskommen.

Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} \Delta x= x*(x^\alpha-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta x= 1,677*(1,677^{0,000921458}-1) =0,0008 \end{eqnarray*}$

06.10.2018, 22:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Berti
ist die 9 ein tippfehler ???

Nein, kein Tippfehler: Es ist an sich gar nicht so wichtig, wo die Übergangsstelle ist, 9 ist ein hingebastelter Kompromiss (besser als Wert $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , der vorher dort stand). Die eigentliche Genauigkeit erledigen ja dann die Newton-Schritte.

Was allerdings ein einziger großer Tippfehler ist: Deine Art, die Formel zu "zitieren". Kotzen

Kotzen

06.10.2018, 22:58

Berti

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Geradengleichung
Hallo,

wenn $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} tn=x-\frac{x^{2} }{2} \end{eqnarray*}$ ist dies Korrekt.

Gruß

06.10.2018, 23:15

HAL 9000

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Du fragst jetzt tatsächlich, wie die Formel

$\begin{eqnarray*} t_0 = \begin{cases} x-\frac{x^2}{2} &\;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1\\ \frac{1+\ln(x)}{2} &\;\mbox{für}\; 1<x\leq 9\\ \ln(x)-\ln(\ln(x)) + \frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)} &\;\mbox{für}\; x>9\end{cases} \end{eqnarray*}$

zu lesen ist? Noch nie eine abschnittsweise definierte Funktion gesehen? Also ja, für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} t_0 = x-\frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ !!!), und mit diesem Startwert geht man in die Newton-Iteration $\begin{eqnarray*} t_{n+1} = t_n-\frac{t_n-x\exp(-t_n)}{t_n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=0,1,2 \end{eqnarray*}$ , und mit $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ ist man meinen Untersuchungen nach dann schon ziemlich genau am Ziel - aber das hab ich doch oben alles schon mal geschrieben. unglücklich

unglücklich

07.10.2018, 12:13

Berti

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Geradengleichung
Hallo an Alle,

ich habe die Newton-Iteration in Excel ausprobiert nach 3. Iterationen kommt man zum Ergebnis.

Vielen Dank an Alle.

Gruß

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