e^pi versus pi^e

15.09.2018, 08:13

Dopap

e^pi versus pi^e

Am Blattrand fand ich $\begin{eqnarray*} e^\pi <\pi^e \end{eqnarray*}$ und für den Beweis war mal wieder der Platz zu klein Augenzwinkern

Eigentlich müsste man nur gleiche Exponenten erzeugen und dann schau'n welche Basis größer ist.

Das dürfte $\begin{eqnarray*} (e^{\frac 1e })^{\pi e} < ( \pi^{\frac 1\pi})^{\pi e} \end{eqnarray*}$ doch treffen. [geht mathjax auch etwas größer ?]

oder $\begin{eqnarray*} e^{\frac 1e} < \pi^{\frac 1\pi} \end{eqnarray*}$

Ein Maximum könnte bei e oder pi liegen.
Also $\begin{eqnarray*} \quad f(x):= x^{\frac 1x}~~ \end{eqnarray*}$ differenzieren und Nullstelle samt Vorzeichenwechsel untersuchen. Das sollte funktionieren. Oder?

15.09.2018, 09:47

Leopold

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Wenn man da nicht numerisch herangehen will, kann man das sicher auf vielfältige Art zeigen. Zum Beispiel so:

Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ mit

$\begin{align*} f(x) = x - \ln x \, , \ \ x > 0 \end{align*}$

hat als Ableitung

$\begin{align*} f'(x) = 1 - \frac{1}{x} \end{align*}$

mit $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ als einziger Nullstelle. Dabei wechselt das Vorzeichen von negativ nach positiv. Daher ist $\begin{align*} f(1) = 1 \end{align*}$ das globale Minimum der Funktion. Insbesondere gilt

$\begin{align*} x - \ln x > 1 \ \ \text{für} \ \ x>0 \, , \ x \neq 1 \end{align*}$

Daß $\begin{align*} \pi \end{align*}$ nicht gleich $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ ist, darf wohl vorausgesetzt werden. Speziell $\begin{align*} x = \frac{\pi}{e} \end{align*}$ zeigt

$\begin{align*} \frac{\pi}{\operatorname{e}} - \ln \frac{\pi}{\operatorname{e}} > 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{\pi}{\operatorname{e}} - \ln \pi > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \pi - \operatorname{e} \cdot \ln \pi > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \ln \left( \pi^{\operatorname{e}} \right) < \pi \ \ \Leftrightarrow \ \ \pi^{\operatorname{e}} < \operatorname{e}^{\pi} \end{align*}$

15.09.2018, 19:50

Dopap

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1.) dann war die Randnotiz eben falsch.

2.) die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x -\ln(x) \end{eqnarray*}$ fällt so ein wenig vom Himmel. Aber man kann die Äquivalenzen auch rückwärts lesen.

3.) Mein noch "lebender" Rechenstab hat 6(!) Skalen mit e^x und damit ist das Problem mit einer Zungeneinstellung erledigt - und mit Zunge ist der bewegliche Schieber des Analogrechners gemeint Augenzwinkern

16.09.2018, 10:54

Mitleser

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Zitat:

die Funktion f(x)=x-ln(x) fällt so ein wenig vom Himmel.

Zumindest die "Logarithmus-Idee" ist ebenso wie deine "Potenz-Idee" ja recht naheliegend.

Wenn man nun also $\begin{eqnarray*} e^{\pi}>{\pi}^e \end{eqnarray*}$ zeigen möchte, dann gilt offenbar $\begin{eqnarray*} \pi>e \cdot ln(\pi) \end{eqnarray*}$ (Monotonie), was äqivalent zu $\begin{eqnarray*} \pi-e \cdot ln(\pi)>0 \end{eqnarray*}$ ist und der Ansatz nahe liegt, die recht umgängliche Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x-e \cdot ln(x) \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

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