n-te Ableitung

16.09.2018, 22:38	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te Ableitung Hey Leute, wisst ihr, ob sich von jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion die n-te Ableitung in expliziter Form angeben lässt? Oder ist euch ein Gegenbeispiel bekannt? Liebe Grüße
16.09.2018, 22:47	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal kommt das auf die Funktion an. Betrachte doch mal $\begin{eqnarray} f(x)=sin(x) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x)=x^{n} \end{eqnarray}$ . Hier die n-te Ableitung zu bestimmen ist schnell gemacht. Worauf willst du denn genau hinaus? Auf ein Kochrezept für die n-te Ableitung?
16.09.2018, 22:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn sich die Funktion mittels der rationalen Operationen und der Verkettung aus Standardfunktionen mit bekannten Ableitungen zusammensetzt, dann kann ihre n-te Ableitung gemäß den bekannten Regeln (Summenregel, Produktregel und so weiter) für ein konkretes n auch prinzipiell ermittelt werden. "Prinzipiell" bedeutet, daß der Rechenaufwand dabei extrem schnell ansteigen kann, so daß es irgendwann zwar theoretisch, aber praktisch nicht mehr möglich ist. Falls du eine Formel für variables n suchst, dann erscheint mir das im allgemeinen Fall eine mission impossible.
16.09.2018, 23:10	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau eine rein theoretische Frage. Dass es kein Kochrezept im Allgemeinen gibt, da bin ich mir sogar ziemlich sicher. Nur existiert theoretisch zu jeder Funktion die n-te Ableitung in expliziter Form? Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=\sin(x)\quad f^{(n)}(x)=\sin(x+n\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ Aber was meinst du genau mit deiner Antwort Leopold? Ist es im Allgemeinen nur sehr schwer oder gibt es Funktionen, bei denen es nachweisbar nicht möglich ist?
17.09.2018, 10:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Problem ist auch die Schwammigkeit des Begriffs "explizite Form", das ist ähnlich problematisch wie "geschlossen integrierbar": Sind z.B. Summen- oder Produktsymbole da gestattet oder nicht? Da gibt es erhebliche Grauzonen, so hat z.B. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Ableitung $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \end{eqnarray}$ . Sowas (u.a. auch die Verwendung der Fakultätszeichen) wird da i.a. akzeptiert, während bei $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n \prod\limits_{k=1}^n k}{x^{n+1}} \end{eqnarray}$ schon manche die Stirn runzeln würden... Abgesehen von dieser grundsätzlichen Frage würde ich mich aber der Ansicht "mission impossible" von Leopold anschließen.
17.09.2018, 12:26	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr versteht schon was ich meine haha. Die Funktionenfolge der Ableitungen kann in rekursiver Form oder expliziter Form gegeben sein, so wie auch in deinem Beispiel mit der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ . Jegliches mathematisches Symbol zur Beschreibung der n-ten Ableitung ist mir dabei recht. Wenn aber auch du sagst, dass es Funktionen gibt, bei denen es nachweisbar unmöglich ist so eine explizite Form der Ableitungen aufzustellen, dann reicht mir das an der Stelle. Vielen Dank für eure Antworten
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