ne-ne=0 ?

17.09.2018, 01:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
*ne-ne=0 ?* bei $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \left((1+\tfrac 1n)^n -e\right)=0 \end{eqnarray}$ bin mir so gut wie sicher. Aber bei $\begin{eqnarray} \lim_{ n\to \infty }\left( \underbrace {n(1+\tfrac 1n)^n}_{\infty} -\underbrace {ne}_{\infty}\right)=0 \end{eqnarray}$ ist bestimmt Vorsicht angeraten da ein unbestimmter Ausdruck entsteht. Etwas mit e würde mich nun nicht wirklich überraschen. $\begin{eqnarray} \lim_{ n\to \infty }\left(\frac { (1+\tfrac 1n)^n -ne}{\frac 1n}\right) \end{eqnarray}$ und reichlich Hospitalismus könnte eine Idee sein. Oder geht's mal wieder einfacher?
17.09.2018, 09:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Alternative wäre die Betrachtung der Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} \frac{\ln(1+x)}{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} x^k \end{eqnarray}$ , aus der gewinnt man $\begin{eqnarray} n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = 1-\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ und daraus durch Exponenzieren $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1-\frac{1}{2n}\right) + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ , mithin ist $\begin{eqnarray} n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-ne = -\frac{e}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray}$ . Kann man auch noch weiter treiben, auch wenn dann die Rechnung langsam ungemütlicher wird (insbesondere das Exponenzieren): $\begin{eqnarray} n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = 1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{11}{24n^2}\right) + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \end{eqnarray}$ , usw.
18.09.2018, 03:57	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. das ist eine Alternative, wobei der Ansatz und das Folgende sich mir nicht gerade aufdrängt.
18.09.2018, 07:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch noch das nächste Glied einbezogen:
18.09.2018, 12:49	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Vorschlag: Ersetze $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{n\to \infty} \left(n\cdot (1+\tfrac 1n)^n -n\cdot e\right)<br /> \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x\to 0} \left(\tfrac 1x \cdot (1+x)^\tfrac 1x-\tfrac 1x\cdot e\right)<br /> \end{eqnarray}$ Nach einigen L’Hôpital erhalte ich als Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2}e \end{eqnarray}$ .

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