Superman vs. Flash

22.09.2018, 21:50

Dopap

Superman vs. Flash

Beide Superhelden messen ihre Kräfte am Sylvesterabend in der Festung der Einsamkeit.
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Schnell ist eine Superurne und eine ausreichende(!) Menge an nummerierten Kugeln herbeigeschafft.

Um 23h befüllt der superschnelle flash die Urne mit den Kugeln #1-#10. Superman hat nun 30 min Zeit um zufällig eine Kugel zu entfernen. flash füllt um 23h 30 min die Kugeln #11-#20 nach und superman entfernt wieder eine zufällige Kugel, diesmal schon um 23h 34 min. Das Alles ist superman entschieden zu langsam und er bietet an:

Ich wette, dass ich - wenn wir step by step jeweils die Prozedurzeit halbieren - bis Mitternacht die Urne geleert haben werde sofern du mit dem Tempo klar kommst.
Nochmals und zum Mitschreiben : du füllst die Kugeln #21-#30 bis 23h 45 min ein und ich entferne eine Zufallskugel bis spätestens 23h 52.5 min. usw...
---
Unbedarft und unerfahren würde ich im ersten Augenschein sagen, dass exponentiell mit der Zeit wachsend 9 Kugeln netto dazukommen. Also muss die Urne unendlich gefüllt sein.
Andererseits kommt es bestimmt auf die Art und Weise der Entnahme an.

23.09.2018, 09:07

Dopap

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Ich versuch mal eine etwas "schräge" Argumentation:
Eine der ersten 10 Kugeln ist mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \prod \frac{9n}{9n+1}=0 \end{eqnarray*}$ noch in der Urne. Und eine Kugel des 2. tasks ebenfalls noch mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \lim_{n=2\to \infty} \prod \frac{9n}{9n+1}=0 \end{eqnarray*}$ in der Urne. Das gilt so für jede Kugel

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Summe ist Null, die Urne ist um Mitternacht leer. verwirrt

23.09.2018, 09:27

Huggy

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Man braucht keine schräge Argumentation. Die Sache ist völlig simpel. Man normiere das Zeitintervall auf $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Superman entnehme die Kugel mit der Nummer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt

$\begin{eqnarray*} t_n=1- \frac 1 {2^n} \end{eqnarray*}$

Dann gibt es keine Kugel, die sich zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ noch in der Urne befindet. Es kommt gar nicht so genau darauf an, wann Flash wieviele Kugeln einfüllt. Er kann sogar zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ alle einfüllen. Allerdings befinden sich zu jedem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t<1 \end{eqnarray*}$ noch Kugeln in der Urne.

Das hat nicht mit Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten zu tun. Ursache ist lediglich die Konvergenz der Zeitreihe von Superman.

24.09.2018, 06:52

Dopap

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mmh.. hört sich etwas grob an.
Wie derjenige Politiker der meinte: Wenn man Visionen hat, dann solle man zum Arzt gehen
für die Jüngeren : Helmut Schmidt Bundeskanzler und informeller Vorsitzender des konservativen Seeheimer Kreises der SPD

und soll, wenn wie in deinem Beispiel alle Kugeln zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$ eingefüllt werden $\begin{eqnarray*} \infty -\infty = 0 \end{eqnarray*}$ sein ?

Meiner Meinung nach sind aber Entnahme- und Befüllprozedur von Bedeutung.

Entnahme vom Typ II:

superman entnimmt zu jedem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_n=1-\frac {1}{ 2^n} \end{eqnarray*}$ die Kugel mit der höchsten Nummer also $\begin{eqnarray*} E_n=10n \end{eqnarray*}$ das bedeutet, dass sich immer mehr Kugeln anhäufen, deren Teiler keine 10 enthält.
d.h. deren Verbleibwahrscheinlichkeit ist Eins und die Urne ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ prall gefüllt. verwirrt

24.09.2018, 08:07

Huggy

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Es mögen alle Kugeln zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ eingefüllt werden. Nun nenn mir die Nummer einer Kugel, die deiner Meinung nach zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ noch nicht entnommen wurde. Ich nenne dir dann den Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t<1 \end{eqnarray*}$ , zu dem sie entnommen wurde.

24.09.2018, 14:46

Dopap

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deinem Angebot entnehme ich implizit, dass es um

Entnahme vom Typ III geht:

superman entnimmt jeweils die Kugel mit der niedrigsten Nummer.

Und da stimme ich zu, auf diese Weise ist um Mitternacht ( $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ ) die Urne leer, auch dann, wenn alle Kugeln beim Start eingefüllt wurden. Nur:

Was hat das mit mit Szenario I und Szenario II zu tun?

24.09.2018, 16:44

Huggy

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Meine Antwort bezog sich auf eine Variante, bei der Superman eine Kugel mit einer Nummer seiner Wahl zieht. Vielleicht hatte ich überlesen, dass er eine Kugel mit zufälliger Nummer entnehmen soll. Oder hast du das später abgeändert?

24.09.2018, 17:21

Dopap

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nach der ersten post editiere ich nie wichtige Passagen/Teile.

24.09.2018, 18:33

Gast7192

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Interessante Frage - gibt es dazu auch eine Lösung?

Letztendlich ist die Begründung, dass jede Kugel mit Wahrscheinlichkeit 0 zu Mitternacht noch in der Urne ist ja kein Beweis dafür, dass die Urne leer ist;

Wenn ich eine Gleichverteilung auf [0,1] habe ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auch 0, deswegen kann ich trotzdem Zahlen aus der Menge ziehen;
Wenn wir von abzählbar oder überabzählbar unendlich vielen Kugeln sprechen, ist diese Argumentation für mich nicht richtig.

Und schon rein intuitiv sollte die Lösung unendlich sein - oder nicht?

24.09.2018, 22:19

Dopap

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RE: Superman vs. Flash

Zitat:

Original von Dopap
[...]
Unbedarft und unerfahren würde ich im ersten Augenschein sagen, dass exponentiell mit der Zeit wachsend 9 Kugeln netto dazukommen. Also muss die Urne unendlich gefüllt sein. [...]

das war auch meine Intuition smile

2.) beim Original vom Typ I haben wir keine überabzählbare Mengen vorliegen.
Die Entnahmewahrscheinlichkeiten sind alle im limes = 1 .

3.) Eine "schlechte" Entnahmestrategie vom Typ II führt mit Wahrscheinlichkeit 1 zu einer einer "vollen" Urne.
Aber hier müsste man wahrscheinlich(!) wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} 9n=\infty \end{eqnarray*}$ gar nicht mit Wahrscheinlichkeiten rechnen ( argumentieren ).

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