Normale Endomorphismen

22.09.2018, 21:51	gast3123	Auf diesen Beitrag antworten »
Normale Endomorphismen Ich lerne gerade für eine Prüfung und mich interessiert insbesondere Punkt (iv). Meine Frage ist nun, ob da evtl ein Fehler vorliegt und ganz am Anfang als Voraussetzung des Lemma stehen müsste f ist selbstadjungiert statt f ist normal: [attach]48023[/attach] Sonst verstehe ich nämlich das allerletzte Istgleichzeichen der allerletzten Zeile am Bild nicht. Dieses würde nämlich aus f selbstadjungiert sofort folgen aber aus f normal doch nicht oder?
22.09.2018, 21:52	gast3123	Auf diesen Beitrag antworten »
(aufs Bild draufklicken, dann wird es schärfer)
22.09.2018, 23:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der adjungierte Endomorphismus $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ ist ja gerade definiert durch die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \langle f^(v), w\rangle =\langle v, f(w)\rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w\in V \end{eqnarray}$ (das hat noch nichts mit normal oder selbstadjungiert zu tun). Es wird nirgends gefordert, dass $\begin{eqnarray} \langle v, f(w)\rangle =\langle f(v), w\rangle \end{eqnarray}$ oder so gilt.
23.09.2018, 10:57	gast3123	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist klar dass für f adjungiert gilt $\begin{eqnarray} \langle f^(v), w\rangle =\langle v, f(w)\rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w\in V \end{eqnarray}$ und demnach wäre $\begin{eqnarray} \langle f^(v), w\rangle-\langle v, f(w)\rangle=0 \end{eqnarray}$ wenn f adjungiert wäre. Aber hier ist ja die Voraussetzung dass f normal ist und nicht dass f adjungiert ist. Oder folgt aus normal die Adjungiertheit? Vielleicht drücke ich mich zu kompliziert aus, ich verstehe nicht warum für f normal gilt: $\begin{eqnarray} \langle f^(v), w\rangle -\langle v, f(w)\rangle=0 \end{eqnarray*}$
23.09.2018, 11:19	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend verwechselst du zwei Begriffe: Einmal gibt es einen zu einem anderen Endomorphismus adjungierten Endomorphismus. Und dann gibt es selbstadjungierte Endomorphismen. Für ersteres definiert man sich eine neue Abbildung $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ , die die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \langle f^(v), w\rangle =\langle v, f(w)\rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v,w\in V \end{eqnarray}$ erfüllt. Dieses $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ nennt man dann "den zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ adjungierten Endomorphimus". Und dann gibt es selbstadjungierte Endomorphismen. Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray} f=f^* \end{eqnarray}$ ist; der Endomorphismus ist also gleich dem zu sich selbst adjungierten Endomorphismus. So etwas wie " $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray*}$ ist adjungiert" ohne Bezug auf einen anderen Endomorphismus gibt es also gar nicht.
23.09.2018, 11:38	gast3123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das war mein Fehler. Zurück zu meiner Frage. Die Aussage von Punkt (iv) lautet ja dass Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten (d.h. x ungleich y) orthogonal sind wenn f normal ist. Überall sonst finde ich diese Aussage nur wenn f als selbstadjungiert vorausgesetzt wird. Kann es sein dass hier am Bild ebenfalls f selbstadjungiert statt f normal gemeint ist? Falls wirklich f normal als Voraussetzung passen sollte, weshalb gilt $\begin{eqnarray} \langle f^(v), w\rangle -\langle v, f(w)\rangle=0 \end{eqnarray*}$
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23.09.2018, 12:04	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Nick hat deine Frage schon beantwortet, du musst sie nur aufmerksam lesen. Die Aussage $\begin{eqnarray} \forall v,w \in V \colon \;\; \langle f^(v), w \rangle - \langle v, f(w) \rangle = 0 \;\;\;\; () \end{eqnarray}$ hat nichts mit der Normalität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu tun und ist komplett unabhängig davon. Gegeben $\begin{eqnarray} f \in End(V) \end{eqnarray}$ (ich nehme an, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ endlich-dimensional ist), so gibt es *immer (ob $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ normal ist oder nicht spielt keine Rolle)* genau einen Endomorphismus $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , sodass Aussage $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Man nennt $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ den zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ adjungierten Endomorphismus. Wie gesagt kannst du das für jeden Endomorphismus eines endlich-dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraum machen. Die Normalität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray*}$ braucht man aber für (iv), weil man (iii) benutzt.

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